Question

Довести, що значення виразу 16 в 7-мій степені + 15 в 8-мій степені - 11 в 9-тій степені, ділиться на 10

Answer 1

16 в 7 спепени будет заканчиваться цифрой 6, так как 6 будет множиться сама на себя, то будет в конце всегда получаться 6.
15 в 8 - заканчивается 5, потому что 5*5=25, и т.д., т.е. все время кончается 5.
аналогично с 11 в 9. будет кончаться единицей.
имеем 6+5-1=0, т.е. то число, что получится в ответе будет заканчиваться нулем, а значит поделится на 10.

Answer 2

Для доведення того, що значення даного виразу ділиться на 10, ми можемо скористатися з теореми про ділення націло.

Теорема: Якщо сума, різниця або добуток двох цілих чисел ділиться націло на певне число, то кожне з цих чисел також ділиться націло на це число.

Отже, давайте обчислимо значення виразу:

16^7 + 15^8 - 11^9

Для спрощення ми можемо розглядати лише залишки від ділення на 10 кожного зі складників, оскільки вони зберігають відповідність взаємно. Давайте розглянемо кожен з компонентів окремо:

1. Залишок від ділення 16^7 на 10: 16^1 ≡ 6 (mod 10) 16^2 ≡ 6^2 ≡ 36 ≡ 6 (mod 10) 16^3 ≡ 6^3 ≡ 216 ≡ 6 (mod 10) 16^4 ≡ 6^4 ≡ 1296 ≡ 6 (mod 10) 16^5 ≡ 6^5 ≡ 7776 ≡ 6 (mod 10) 16^6 ≡ 6^6 ≡ 46656 ≡ 6 (mod 10) 16^7 ≡ 6^7 ≡ 279936 ≡ 6 (mod 10)

Таким чином, 16^7 залишається 6 при діленні на 10.

2. Залишок від ділення 15^8 на 10: 15^1 ≡ 5 (mod 10) 15^2 ≡ 5^2 ≡ 25 ≡ 5 (mod 10) 15^3 ≡ 5^3 ≡ 125 ≡ 5 (mod 10) 15^4 ≡ 5^4 ≡ 625 ≡ 5 (mod 10) 15^5 ≡ 5^5 ≡ 3125 ≡ 5 (mod 10) 15^6 ≡ 5^6 ≡ 15625 ≡ 5 (mod 10) 15^7 ≡ 5^7 ≡ 78125 ≡ 5 (mod 10) 15^8 ≡ 5^8 ≡ 390625 ≡ 5 (mod 10)

Таким чином, 15^8 залишається 5 при діленні на 10.

3. Залишок від ділення 11^9 на 10: 11^1 ≡ 1 (mod 10) 11^2 ≡ 1^2 ≡ 1 (mod 10) 11^3 ≡ 1^3 ≡ 1 (mod 10) 11^4 ≡ 1^4 ≡ 1 (mod 10) 11^5 ≡ 1^5 ≡ 1 (mod 10) 11^6 ≡ 1^6 ≡ 1 (mod 10) 11^7 ≡ 1^7 ≡ 1 (mod 10) 11^8 ≡ 1^8 ≡ 1 (mod 10) 11^9 ≡ 1^9 ≡ 1 (mod 10)

Таким чином, 11^9 залишається 1 при діленні на 10.

Тепер давайте складемо залишки:

6 + 5 - 1 ≡ 10 ≡ 0 (mod 10)

Так як сума залишків дорівнює 0, це означає, що значення виразу 16^7 + 15^8 - 11^9 ділиться націло на 10.