Question

Составить каноническое уравнение поверхности второго порядка 4x^2+y^2-2z^2-12z-18=0

Answer 1

$4x^2+y^2-2z^2-12z-18=0\\\\4x^2+y^2-2(z^2+6z)=18\\\\4x^2+y^2-2\Big ((z+3)^2-9\Big )=18\\\\4x^2+y^2-2(z+3)^2+18=18\\\\4x^2+y^2-2(z+3)^2=0\\\\\frac{x^2}{\frac{1}{4}} +\frac{y^2}{1}-\frac{(z+3)^2}{\frac{1}{2}}=0\; \; \; \Rightarrow \; \; \; konys\; ,\; \; a=\frac{1}{2}\; ,\; \; b=1\; ,\; \; c=\frac{1}{\sqrt2}\; ,\; centr\; (0,0,-3)$

Answer 2

Для составления канонического уравнения поверхности второго порядка, необходимо привести уравнение к виду, в котором все квадратичные члены стоят отдельно и дополнительно учтены все линейные и постоянные члены. Процедура приведения канонического уравнения сводится к завершению квадратного трехчлена.

Дано уравнение поверхности: 4x^2 + y^2 - 2z^2 - 12z - 18 = 0

1. Сначала перенесем свободный член (-18) на другую сторону уравнения: 4x^2 + y^2 - 2z^2 - 12z = 18

2. Завершим квадратное выражение относительно переменных x и y. Для этого добавим и вычтем недостающие константы, чтобы сделать каждый квадратный трехчлен отдельным полным квадратом: 4x^2 + y^2 + (0) - 2z^2 - 12z = 18 + (0) - (0)

3. Запишем квадратные трехчлены для x и y: (2x)^2 + y^2 - (z^2 + 12z) = 18

4. Теперь завершим квадратное выражение относительно переменной z. Для этого добавим и вычтем недостающую константу, чтобы сделать выражение замкнутым в полный квадрат: (2x)^2 + y^2 - (z^2 + 12z + 36) = 18 - 36

5. Запишем квадратный трехчлен для z: (2x)^2 + y^2 - (z + 6)^2 = -18

Теперь у нас есть каноническое уравнение поверхности второго порядка: (2x)^2 + y^2 - (z + 6)^2 = -18