Question

Экстремумы функции f(x)=4x^3+8x^2+5x+2

Answer 1

На картинке......................

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю. Экстремумы могут быть как максимумами, так и минимумами.

Для функции f(x) = 4x^3 + 8x^2 + 5x + 2, начнем с нахождения ее производной:

f'(x) = d/dx (4x^3 + 8x^2 + 5x + 2)

Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности:

f'(x) = 3 * 4x^2 + 2 * 8x + 5

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

0 = 3 * 4x^2 + 2 * 8x + 5

Это уравнение второй степени, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант D для уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 3, b = 2 * 8 = 16, c = 5.

D = 16^2 - 4 * 3 * 5 = 256 - 60 = 196.

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a x = (-16 ± √196) / 2 * 3 x = (-16 ± 14) / 6

Таким образом, получаем два значения x:

1. x = (-16 + 14) / 6 = -2 / 6 = -1/3
2. x = (-16 - 14) / 6 = -30 / 6 = -5

Теперь, чтобы определить, является ли точка экстремумом, нужно проанализировать знак производной в окрестности каждой из найденных точек.

1. x = -1/3: Подставим x = -1/3 во вторую производную (f''(x)):

f''(x) = d^2/dx^2 (4x^3 + 8x^2 + 5x + 2) f''(x) = 6 * 4x + 2 * 8 f''(-1/3) = 6 * 4 * (-1/3) + 16 f''(-1/3) = -8 + 16 f''(-1/3) = 8 (положительное число)

Так как вторая производная положительна, это означает, что функция имеет минимум в точке x = -1/3.

2. x = -5: Подставим x = -5 во вторую производную (f''(x)):

f''(x) = d^2/dx^2 (4x^3 + 8x^2 + 5x + 2) f''(x) = 6 * 4x + 2 * 8 f''(-5) = 6 * 4 * (-5) + 16 f''(-5) = -120 + 16 f''(-5) = -104 (отрицательное число)

Так как вторая производная отрицательна, это означает, что функция имеет максимум в точке x = -5.

Итак, экстремумы функции f(x) = 4x^3 + 8x^2 + 5x + 2:

• Минимум в точке x = -1/3
• Максимум в точке x = -5