Question

Докажите неравенство: a^2 + b^2 - 4ab >= - 2ab

Answer 1

$a^{2}+b^{2}-4ab>=-2ab\\(a^{2}-2ab+b^{2})-2ab>=-2ab\\(a-b)^{2}>=0$

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, начнем с неравенства нулю:

a^2 + b^2 - 4ab >= 0

Теперь добавим 2ab к обеим сторонам:

a^2 + b^2 - 2ab + 2ab >= 0 + 2ab

Упростим:

a^2 + b^2 - 2ab >= 2ab

Заметим, что правая часть неравенства 2ab равна 2ab, так как добавили одно и то же значение к обеим сторонам. Теперь у нас есть:

a^2 + b^2 - 2ab >= 2ab

Теперь вычтем 2ab из обеих сторон:

a^2 + b^2 - 2ab - 2ab >= 2ab - 2ab

Упростим:

a^2 + b^2 - 4ab >= 0

Мы заметили, что левая часть неравенства a^2 + b^2 - 4ab равна нулю. Так как ноль больше или равен нулю, то наше исходное неравенство верно:

a^2 + b^2 - 4ab >= -2ab

Таким образом, неравенство a^2 + b^2 - 4ab >= -2ab верно для любых действительных чисел a и b.