Question

Решите неравенство ∣x+1∣<=∣x^2+x∣

Answer 1

____________________________________________________________

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам нужно разбить его на два случая: когда выражение внутри модуля положительно или ноль, и когда оно отрицательно.

Пусть $x + 1 \geq 0$, тогда $\lvert x + 1 \rvert = x + 1$. Исходное неравенство примет вид: $x + 1 \leq \lvert x^2 + x \rvert.$

Теперь рассмотрим случай $x + 1 < 0$, тогда $\lvert x + 1 \rvert = -(x + 1)$. Исходное неравенство примет вид: $-(x + 1) \leq \lvert x^2 + x \rvert.$

Теперь разберем каждый случай отдельно.

Случай 1: $x + 1 \geq 0$. $x + 1 \leq \lvert x^2 + x \rvert.$

Рассмотрим $\lvert x^2 + x \rvert$:

Если $x^2 + x \geq 0$, то $\lvert x^2 + x \rvert = x^2 + x$. Итак, $x + 1 \leq x^2 + x$.

Теперь решим неравенство: $x^2 + x - x - 1 \geq 0.$ $x^2 - 1 \geq 0.$

Факторизуем: $(x - 1)(x + 1) \geq 0.$

Теперь рассмотрим знак выражения $(x - 1)(x + 1)$ для разных интервалов числа $x$:

1. Если $x < -1$, оба множителя отрицательны, значит, выражение $(x - 1)(x + 1)$ положительно.

2. Если $-1 \leq x \leq 1$, первый множитель $(x - 1)$ отрицателен, а второй $(x + 1)$ положителен. Значит, произведение отрицательно.

3. Если $x > 1$, оба множителя положительны, выражение $(x - 1)(x + 1)$ снова положительно.

Таким образом, решение неравенства $x^2 - 1 \geq 0$ есть $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Случай 2: $x + 1 < 0$. $-(x + 1) \leq \lvert x^2 + x \rvert.$

Рассмотрим $\lvert x^2 + x \rvert$:

Если $x^2 + x \geq 0$, то $\lvert x^2 + x \rvert = x^2 + x$. Итак, $-(x + 1) \leq x^2 + x$.

Теперь решим неравенство: $x^2 + x + x + 1 \geq 0.$ $x^2 + 2x + 1 \geq 0.$ $(x + 1)^2 \geq 0.$

Выражение $(x + 1)^2$ всегда неотрицательно, и оно равно нулю только при $x = -1$.

Таким образом, решение второго неравенства $(x + 1)^2 \geq 0$ есть $x = -1$.

Теперь объединим оба случая и получим окончательное решение неравенства:

$x \in (-\infty, -1] \cup [-1, \infty).$

Это означает, что все значения $x$, меньшие или равные -1, и все значения $x$, большие или равные -1, удовлетворяют исходному неравенству.