Question

Могут ли числа: √2, √3, √5 2) √5-√2; 1; 1+4√2 ____ √5+√2+2 быть последовательными членами арифметический прогрессии?

Answer 1

Все корни являются иррациональными (кроме корней из натуральных чисел в квадрате)
√2,√3,√5 и т.д являются иррациональными, тоесть их НЕЛЬЗЯ записать ввиде дроби
Арифметическая прогрессия, это когда к одному члену добавляют разницу этой прогрессий d, разница прогрессии всегда должна быть одинаковой, иначе это не прогрессия.
Между корнями нет никакой абсолютно связи, в том числе и прогрессирующей.
Проще говоря - нет, корни из чисел, которые не являются натуральными числами в квадрате не могут быть арифметической прогрессией.
√2, √4,√8 это может быть ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ прогрессия, но не арифметическая

Answer 2

Для того чтобы выяснить, могут ли числа √2, √3 и √5 быть последовательными членами арифметической прогрессии, нам нужно проверить, существует ли такая константа d (шаг прогрессии), что каждое следующее число равно предыдущему плюс этот шаг.

Предположим, что √2, √3 и √5 образуют арифметическую прогрессию. Тогда:

√3 - √2 = d (1) √5 - √3 = 2d (2)

Мы можем решить эту систему уравнений для d.

Из уравнения (1): d = √3 - √2

Из уравнения (2): 2d = √5 - √3

Теперь подставим значение d из уравнения (1) в уравнение (2):

2(√3 - √2) = √5 - √3

Упростим:

2√3 - 2√2 = √5 - √3

Теперь сгруппируем подобные термины:

2√3 + √3 = √5 + 2√2

3√3 = √5 + 2√2

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(3√3)^2 = (√5 + 2√2)^2

9 * 3 = 5 + 4 * 2√5 * √2 + 4 * 2

27 = 5 + 8√10 + 8

8√10 = 27 - 13

8√10 = 14

√10 = 14/8

√10 = 7/4

Это не верно, так как √10 не равен 7/4. Таким образом, предположение о том, что √2, √3 и √5 образуют арифметическую прогрессию, неверно.

Теперь проверим, могут ли числа 1, 1 + 4√2 и √5 + √2 + 2 быть последовательными членами арифметической прогрессии.

Пусть 1, 1 + 4√2 и √5 + √2 + 2 образуют арифметическую прогрессию. Тогда:

(1 + 4√2) - 1 = d (3) (√5 + √2 + 2) - (1 + 4√2) = d (4)

Решим уравнения (3) и (4) для d.

Из уравнения (3): d = 1 + 4√2 - 1 = 4√2

Из уравнения (4): d = (√5 + √2 + 2) - (1 + 4√2)

Теперь объединим шаги прогрессии и сгруппируем подобные термины:

4√2 = (√5 + 2) - 4√2

Теперь перенесем все термины, содержащие d, на одну сторону:

4√2 + 4√2 = √5 + 2

8√2 = √5 + 2

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(8√2)^2 = (√5 + 2)^2

64 * 2 = 5 + 4 * √5 * 2 + 4

128 = 5 + 8√5 + 4

8√5 = 128 - 9

8√5 = 119

√5 = 119/8

Это также неверно, так как √5 не равен 119/8.

Таким образом, ни числа √2, √3, √5, ни числа 1, 1 + 4√2 и √5 + √2 + 2 не образуют арифметическую прогрессию.