Question

Дано функцію y=f(x):f(x)=cos^4x-sin^4x доведіть тотожність f(x)=cos2x

Answer 1

$f(x)=cos^4x-sin^4x=(cos^2x+sin^2x)(cos^2x-sin^2x)=cos^2x-sin^2x=cos2x$

Answer 2

Для доведення тотожності f(x) = cos(2x), почнемо з виразу для cos(2x):

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Тепер, спростимо праву частину виразу f(x):

f(x) = cos^4(x) - sin^4(x)

Ми знаємо, що:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Тому можемо застосувати цей ідентичний перетворення до f(x):

f(x) = (cos^2(x) + sin^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x))

Але ми також знаємо тотожність:

cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Тому можемо замінити це у виразі:

f(x) = 1 * (cos^2(x) - sin^2(x))

А тепер, ми пам'ятаємо, що:

cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)

Тож підставимо це в останній вираз:

f(x) = 1 * cos(2x)

І отримали тотожність:

f(x) = cos(2x)

Таким чином, довели, що f(x) = cos(2x).