Question

Вычислить 1/(sinx*sin2x)+1/(sin2x*sin3x)+...+1/(sin999x*sin1000x)

Answer 1

много кстати да надо уметь думать

Answer 2

Для вычисления данной суммы, представим каждое слагаемое в виде произведения двух тригонометрических функций. Заметим, что:

1/(sin(x) * sin(2x)) = (1/2) * (csc(x) - csc(2x))

Теперь перепишем каждое слагаемое:

1/(sin(x) * sin(2x)) = (1/2) * (csc(x) - csc(2x)) 1/(sin(2x) * sin(3x)) = (1/2) * (csc(2x) - csc(3x)) 1/(sin(3x) * sin(4x)) = (1/2) * (csc(3x) - csc(4x)) ... 1/(sin(999x) * sin(1000x)) = (1/2) * (csc(999x) - csc(1000x))

Теперь сложим все эти равенства:

(1/(sinxsin2x)) + (1/(sin2xsin3x)) + ... + (1/(sin999x*sin1000x)) = (1/2) * (csc(x) - csc(2x)) + (1/2) * (csc(2x) - csc(3x)) + ... + (1/2) * (csc(999x) - csc(1000x))

Заметим, что все промежуточные члены сократятся, и останутся только первый и последний член:

= (1/2) * (csc(x) - csc(1000x))

Теперь, если вам необходимо дальше упростить, то можно преобразовать csc(x) (кусек), используя основные тригонометрические соотношения:

csc(x) = 1/sin(x)

Таким образом:

(1/2) * (csc(x) - csc(1000x)) = (1/2) * (1/sin(x) - 1/sin(1000x))

Вот и получили упрощенное выражение для данной суммы. Если нужно дальнейшее численное вычисление для конкретного значения x, нужно будет подставить значение в это выражение и вычислить результат.