Question

При яких значеннях параметра а рівняння має корені різного знаку

Answer 1

Ответ: a ∈ (-∞;-1.25)

Пошаговое решение:

Существование корней, когда дискриминант больше нуля

$D=4(a+2)^2-4(4a+5)=4a^2-4>0\\ a^2>1$

Последнее неравенство эквивалентно совокупности неравенств

$\left[\begin{array}{ccc}a1\end{array}\right$

По теореме Виетта, произведение корней квадратного уравнения

$x_1\times x_2=4a+5$

И так как корни имеют разные знаки, то произведение их - отрицательно, т.е. 4a+5<0 откуда a<-1.25

Пересечением условий $\displaystyle \left \{ {{D>0} \atop {4a+5$ является промежуток a<-1.25

Answer 2

Для знаходження умов, при яких рівняння має корені різного знаку, розглянемо квадратне рівняння загального вигляду:

ax^2 + bx + c = 0

де a, b і c - це коефіцієнти рівняння, при чому a ≠ 0.

Щоб рівняння мало корені різного знаку, дискримінант рівняння (D) повинен бути більше нуля, оскільки дискримінант визначає, скільки коренів у рівняння є, та їх характер.

Дискримінант D для квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0 визначається як:

D = b^2 - 4ac

Тому, щоб рівняння мало два корені різного знаку, має виконуватися умова D > 0.

Тобто, виразимо умову:

b^2 - 4ac > 0

Якщо ця умова виконується для заданого значення параметра а, то рівняння матиме два корені, які будуть різних знаків.