Question

В уравнении x^2-4x+a=0 значение суммы квадратов корней равно 16. Найдите a. По теореме Виета

Answer 1

По теореме Виета:  х1 + х2 = 4   (1)

По условию х1² + х2² = 16

Возведём в квадрат выражение (1)

х1² + х2² + 2х1 · х2 = 16

Подставим х1² + х2² = 16 и получим

16 + 2х1 · х2 = 16 или

2х1 · х2 = 0.

По теореме Виета    х1 · х2 = а

Ответ: а = 0

Answer 2

По теореме Виета для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

В данном уравнении у нас a = 1, так как коэффициент при x^2 равен 1.

Сумма квадратов корней равна 16, что можно записать следующим образом:

(корень1)^2 + (корень2)^2 = 16

Теперь воспользуемся теоремой Виета для нахождения суммы корней. Так как a = 1, то -b/a = -b.

Сумма корней = -b = корень1 + корень2

Теперь когда у нас есть сумма корней, можем переписать уравнение:

(корень1)^2 + (корень2)^2 = (корень1 + корень2)^2 - 2*(корень1)*(корень2)

Мы знаем, что (корень1 + корень2) = -b, а (корень1)*(корень2) = c (по теореме Виета).

Таким образом:

(корень1)^2 + (корень2)^2 = (-b)^2 - 2c = b^2 - 2c = 16

Мы также знаем, что в данном уравнении a = 1, и что коэффициент при x равен -4, поэтому b = -4.

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной c:

(-4)^2 - 2*c = 16

16 - 2*c = 16

Теперь решим уравнение:

-2*c = 0

c = 0

Таким образом, значение a равно 0.