Question

Докажите, что число n²+n+9 не делится на 25 ни прр каком натуральном числе n.

Answer 1

Здравствуйте, не хотите ли штрафных баллов?

Answer 2

Для доказательства того, что число n² + n + 9 не делится на 25 ни при каком натуральном числе n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

1. Базовый шаг: Для n = 1: n² + n + 9 = 1² + 1 + 9 = 11 11 не делится на 25, так как наименьшее кратное числа 25, которое больше 11, равно 25. Таким образом, базовый шаг выполняется.

2. Предположение индукции: Пусть утверждение верно для некоторого числа k, т.е. k² + k + 9 не делится на 25.

3. Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно для (k+1), то есть (k+1)² + (k+1) + 9 не делится на 25.

Рассмотрим выражение (k+1)² + (k+1) + 9: (k+1)² + (k+1) + 9 = k² + 2k + 1 + k + 1 + 9 = k² + 3k + 11

Теперь допустим, что k² + 3k + 11 делится на 25. Тогда существует целое число m такое, что:

k² + 3k + 11 = 25m

Из предположения индукции мы знаем, что k² + k + 9 не делится на 25, поэтому выражение k² + 3k + 11 не может быть кратно 25 при тех же значениях k.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение неверно. Следовательно, (k+1)² + (k+1) + 9 не делится на 25.

Таким образом, мы доказали, что число n² + n + 9 не делится на 25 ни при каком натуральном числе n.