Question

Вычислить 1/корень1+корень2 +1/корень2+корен.3+...+1/корень99+корень100

Answer 1

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \cdots \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} = ?\\\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n} + \sqrt{n + 1})(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\\\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \cdots \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} = \sqrt{2} - \sqrt{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cdots + \sqrt{100} - \sqrt{99} = \sqrt{100} - \sqrt{1} = 10 - 1 = 9$

Answer 2

Для вычисления суммы данного ряда сначала приведем его к более удобному виду:

Сумма ряда: 1/√1 + 1/√2 + 1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√99 + 1/√100

Мы можем заметить, что каждое слагаемое является обратным квадратному корню числа. Мы можем объединить слагаемые, имеющие одинаковый корень:

Сумма ряда: (1/√1) + (1/√2 + 1/√2) + (1/√3) + ... + (1/√99) + (1/√100)

Продолжим упрощение:

Сумма ряда: 1 + (1/√2 + 1/√2) + 1/√3 + ... + 1/√99 + 1/√100

Теперь у нас есть сумма, в которой имеется множество слагаемых 1/√n. Мы можем объединить слагаемые, у которых есть общий корень:

Сумма ряда: 1 + 2(1/√2) + 1/√3 + ... + 1/√99 + 1/√100

Мы можем видеть, что первое слагаемое - это 1, а остальные слагаемые имеют коэффициенты при квадратных корнях. Теперь нам нужно вычислить сумму оставшихся слагаемых.

Сумма ряда (корни от 2 до 100): 1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√99 + 1/√100

Чтобы вычислить эту сумму, воспользуемся численным методом, так как нет простой формулы для такой суммы. Используем численное интегрирование для приближенного вычисления интеграла функции 1/√x на интервале от 2 до 100:

∫(от 2 до 100) (1/√x) dx

Округлим ответ до трех десятичных знаков:

Сумма ряда (корни от 2 до 100) ≈ 17.416

Теперь добавим 1 (первое слагаемое):

Итоговая сумма ряда ≈ 1 + 2(1/√2) + 17.416 ≈ 19.416

Итак, итоговая сумма ряда равна примерно 19.416.