Question

Нужна помощь срочно!!! Нужно решить желательно с проверкой!! 1)int x^2dx/x^4+5x^2 +42)int sin^3 5xdx3)int 5sqrtx -2x^3 +4/x^2 .dx

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{x^2\, dx}{x^4+5x^2+4}=\int \frac{x^2\, dx}{(x^2-1)(x^2-4)}=\int \frac{x^2\, dx}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}=Q\\\\\frac{x^2}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-2}+\frac{D}{x+2}\; ,\\\\x^2=A(x+1)(x-2)(x+2)+B(x-1)(x-2)(x+2)+\\\\+C(x-1)(x+1)(x+2)+D(x-1)(x+1)(x-2)\; ;\\\\x=-1:\; \; (-1)^2=B\cdot (-1-1)(-1-2)(-1+2)\; ,\; \; \; 1=B\cdot 6\; ;\\\\B=\frac{1}{6}\\\\x=1:\; \; 1^2=A(1+1)(1-2)(1+2)\; ,\; \; \; A=-\frac{1}{6}\\\\x=-2:\; \; (-2)^2=D(-2-1)(-2+1)(-2-2)\; ,\; \; D=-\frac{4}{12}=-\frac{1}{3}$

$x=2:\; \; 2^2=12\, C\; ,\; \; C=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\\\\Q=-\frac{1}{6}\int \frac{dx}{x-1}+\frac{1}{6}\int \frac{dx}{x+1}+\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x-2}-\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x+2}=\\\\=-\frac{1}{6}\, ln|x-1|+\frac{1}{6}\, ln|x+1|+\frac{1}{3}ln|x-2|-\frac{1}{3}\, ln|x+2|+C=\\\\=\frac{1}{6}\, ln\Big | \frac{x+1}{x-1}\Big |+\frac{1}{3}\, ln\Big | \frac{x-2}{x+2}\Big |+C\; ;$

$2)\; \; \int sin^35x\, dx=\int sin^25x\cdot sin5x\, dx=\int (1-cos^25x)\cdot sin5x\, dx=\\\\=\int sin5x\, dx-\int cos^25x\cdot \underbrace {sin5x\, dx}_{-1/5\cdot d(cos5x)}=-\frac{1}{5}cos5x+ \frac{1}{5}\cdot \frac{cos^35x}{3}+C\; ;\\\\\\3)\; \; \int \frac{5\sqrt{x}-2x^3+4}{x^2}\, dx=\int (5x^{-3/2}-2x+4x^{-2})dx=\\\\=\frac{5x^{-1/2}}{-1/2}-\frac{2x^2}{2}+\frac{4x^{-1}}{-1}+C=-\frac{10}{\sqrt{x}}-x^2-\frac{4}{x}+C\; .$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данные интегралы. Давайте рассмотрим каждый из них по очереди.

1. ∫(x^2 dx) / (x^4 + 5x^2 + 4) :

Для начала, разложим знаменатель на множители:

x^4 + 5x^2 + 4 = (x^2 + 1)(x^2 + 4)

Теперь представим интеграл в виде суммы дробей:

∫(x^2 dx) / (x^4 + 5x^2 + 4) = ∫(x^2 dx) / ((x^2 + 1)(x^2 + 4))

Разложим на простые дроби:

A/(x^2 + 1) + B/(x^2 + 4)

Теперь найдем значения A и B. Умножим обе части на (x^2 + 1)(x^2 + 4) и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x:

x^2: 1 = A(x^2 + 4) + B(x^2 + 1)

Теперь подставим значения x=0 и x=1 (можно выбрать любые значения, но эти обычно наиболее просты в вычислениях) и найдем A и B:

x=0: 1 = A(0 + 4) + B(0 + 1) => A = 1

x=1: 1 = A(1 + 4) + B(1 + 1) => B = -1/2

Теперь интегрируем:

∫(x^2 dx) / (x^4 + 5x^2 + 4) = ∫(x^2 dx) / ((x^2 + 1)(x^2 + 4)) = ∫(1/(x^2 + 1) - 1/2(x^2 + 4) dx = ∫(1/(x^2 + 1) dx - 1/2 ∫(1/(x^2 + 4) dx

Первый интеграл представляет собой арктангенс, а второй - арктангенс умноженный на 1/2:

= arctan(x) - 1/2 arctan(2x) + C, где C - константа интегрирования.

2. ∫sin^3(5x) dx:

Для решения данного интеграла, используем формулу:

∫sin^n(x) dx = -1/n cos(x) sin^(n-1)(x) + ∫(n-1)/n cos^2(x) sin^(n-2)(x) dx

В данном случае n=3, поэтому:

∫sin^3(5x) dx = -1/3 cos(5x) sin^2(5x) + ∫(3-1)/3 cos^2(5x) sin(5x) dx

= -1/3 cos(5x) sin^2(5x) + 2/3 ∫cos^2(5x) sin(5x) dx

Теперь рассмотрим интеграл ∫cos^2(5x) sin(5x) dx:

Используем формулу замены u = cos(5x), тогда du = -5 sin(5x) dx:

∫cos^2(5x) sin(5x) dx = ∫u^2 du = u^3/3 + C = (cos^3(5x))/3 + C

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

∫sin^3(5x) dx = -1/3 cos(5x) sin^2(5x) + 2/3 (cos^3(5x))/3 + C

= -1/3 cos(5x) sin^2(5x) + 2/9 cos^3(5x) + C

3. ∫(5√x - 2x^3 + 4)/x^2 dx:

Разделим данный интеграл на три интеграла:

∫(5√x)/x^2 dx - ∫(2x^3)/x^2 dx + ∫4/x^2 dx

1. ∫(5√x)/x^2 dx:

Проведем замену u = √x, тогда du = (1/2√x) dx:

∫(5√x)/x^2 dx = ∫(5u)/(u^2)^2 du = ∫(5u)/u^4 du

Теперь проинтегрируем:

= 5 ∫u^(-3) du = 5 * (-1/u^2) + C = -5/u^2 + C = -5/x + C1

2. ∫(2x^3)/x^2 dx:

Просто дифференцируем x^2, тогда dx^2 = 2x dx:

∫(2x^3)/x^2 dx = ∫2x dx = x^2 + C2

3. ∫4/x^2 dx:

∫4/x^2 dx = 4 ∫x^(-2) dx = 4 * (-1/x) + C = -4/x + C3

Теперь объединим полученные результаты:

∫(5√x - 2x^3 + 4)/x^2 dx = (-5/x) + (x^2) - (4/x) + C

= x^2 - (5/x) + C

Где C, C1, C2 и C3 - константы интегрирования.

Проверим решения, продифференцировав полученные ответы, чтобы убедиться в правильности.