Question

НАЙТИ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДИФ.УРАВНЕНИЯ y′=-y

Answer 1

y' = -y

y' / y = -1

(ln y)' = -1

ln y = ln C - x

y = C * e^(-x)

Answer 2

Дифференциальное уравнение y′ = -y является простым уравнением первого порядка, которое можно решить методом разделения переменных.

Для нахождения общего решения, выполним следующие шаги:

1. Разделим уравнение на y: y′/y = -1.
2. Интегрируем обе стороны уравнения по переменной y: ∫(1/y) dy = ∫(-1) dx.

Интегрирование даёт нам: ln|y| = -x + C,

где C - произвольная константа интегрирования.

3. Избавимся от логарифма, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения: |y| = e^(-x + C).

4. Упростим выражение, используя свойства логарифмов: |y| = e^C * e^(-x).

5. Запишем общее решение с учетом того, что e^C - это произвольная константа, которую мы можем обозначить как K: |y| = K * e^(-x).

Обратите внимание, что модуль |y| возникает из-за возможности y быть как положительным, так и отрицательным.

Итак, общее решение дифференциального уравнения y′ = -y: y = Ke^(-x),

где K - произвольная постоянная.