Question

Визначити проміжки знакосталості y=x^2-2x+1 і y= √x +2

Answer 1

1. Решим квадратное уравнение: $x_{1,2}=\frac{2+-\sqrt{4-4} }{2}$. Т. к. дискриминант равен нулю, то корень здесь один: $x_{1}=x_{2}=1$. Парабола касается оси Ox в точке (1;0), а так как коэффициент при иксе в квадрате положительный, значит, ветви параболы направлены вверх. Из этого следует, что y>0 при x∈(-∞; 1)∪(1; +∞), а при x=1 функция равна нулю

2. Область определения функции $y=\sqrt{x}+2$ -- это x∈[0; +∞). Т. к. квадратный корень из числа всегда равен неотрицательному числу, к которому к тому же прибавляется два (в данной функции), то на всей области определения функция положительна: y>0 при x∈[0; +∞).

3. Область определения функции $y=\sqrt{x+2}$ -- это x∈[-2; +∞). Функция равна нулю при x=-2, а на остальной области определения положительна: y>0 при x∈(-2; +∞).

Answer 2

Щоб знайти проміжки знакосталості функцій y = x^2 - 2x + 1 та y = √x + 2, ми спочатку знайдемо точки перетину цих функцій, тобто точки, де вони мають однакові значення y.

По-перше, знайдемо точки перетину: x^2 - 2x + 1 = √x + 2

Далі, перенесемо всі терміни до одного боку:

x^2 - 2x + 1 - (√x + 2) = 0

Тепер, розв'яжемо це рівняння:

x^2 - 2x - √x - 1 = 0

На жаль, це рівняння не має простого аналітичного розв'язку. Ми можемо знайти значення x чисельним методом або скористатися графічним способом.

Отже, ми побудуємо графік обох функцій, щоб знайти проміжки знакосталості.

Графік функції y = x^2 - 2x + 1: Це є парабола, яка відкривається догори, і її вершина буде мінімальною точкою. Знайдемо вершину, яка має координати (h, k), де:

h = -b / 2a k = f(h)

для квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0.

У нашому випадку, a = 1, b = -2:

h = -(-2) / 2 * 1 = 2 / 2 = 1 k = (1)^2 - 2(1) + 1 = 0

Таким чином, вершина параболи знаходиться в точці (1, 0).

Графік функції y = √x + 2: Це є квадратична коренева функція, що відображається вгору з верхньою гілкою.

Тепер ми можемо побудувати графіки обох функцій та знайти проміжки знакосталості:

(Вибачте, як модель текстового виходу, я не можу створювати графіки тут. Будь ласка, використовуйте онлайн-інструменти або програми для побудови графіків, вводячи рівняння функцій.)

Проміжки знакосталості функції y = x^2 - 2x + 1:

• На інтервалі (-∞, 1), функція y = x^2 - 2x + 1 буде додатною, оскільки вершина параболи знаходиться над віссю x і росте догори з цієї точки.
• На інтервалі (1, +∞), функція y = x^2 - 2x + 1 також буде додатною, оскільки після вершини вона продовжує рости догори.

Проміжки знакосталості функції y = √x + 2:

• Функція y = √x + 2 буде завжди невід'ємною, оскільки корінь квадратний ніколи не приймає від'ємних значень. Тобто, вона буде більше або дорівнює нулю на всьому діапазоні x.

Таким чином, проміжки знакосталості обох функцій такі:

• Для y = x^2 - 2x + 1: (-∞, 1] та [1, +∞)
• Для y = √x + 2: (-∞, +∞)