Question

Решите неравенство с модулем /x2-5/ деленное на / x2-1/ и больше или равно 2

Answer 1

|2x-5|:|2x-1|>=2

Приведем подобные:

|2x:2x-5:1|>=2 =|1-5|>=2 =4>=2

У нас получилось: 4>=2

Answer 2

Для решения данного неравенства с модулями, нужно разбить его на части, так как модули создают разные случаи в зависимости от значения выражения внутри них.

Итак, дано неравенство:

| x^2 - 5 | / | x^2 - 1 | >= 2

Чтобы начать, определим интервалы значений переменной x, которые разбивают число x^2 - 5 и x^2 - 1 на положительные и отрицательные значения.

1. Рассмотрим выражение x^2 - 5: a) Если x^2 - 5 >= 0, тогда x^2 >= 5, и, следовательно, x >= √5 или x <= -√5. b) Если x^2 - 5 < 0, тогда x^2 < 5, и, следовательно, -√5 < x < √5.

2. Рассмотрим выражение x^2 - 1: a) Если x^2 - 1 >= 0, тогда x^2 >= 1, и, следовательно, x >= 1 или x <= -1. b) Если x^2 - 1 < 0, тогда x^2 < 1, и, следовательно, -1 < x < 1.

Теперь у нас есть четыре интервала, которые нужно рассмотреть:

1. x >= √5, x >= 1
2. x >= √5, -1 < x < 1
3. -√5 < x < √5, x >= 1
4. -√5 < x < √5, -1 < x < 1

Решим неравенство для каждого интервала:

1. x >= √5, x >= 1: Здесь оба числа в модулях положительны: (x^2 - 5) / (x^2 - 1) >= 2 (x^2 - 5) >= 2 * (x^2 - 1) x^2 - 5 >= 2x^2 - 2 x^2 <= 3 Так как x >= 1, этому условию удовлетворяют только значения x, принадлежащие отрезку [√3, ∞).

2. x >= √5, -1 < x < 1: Здесь x^2 - 5 отрицательно, а x^2 - 1 положительно: (5 - x^2) / (x^2 - 1) >= 2 (x^2 - 5) <= -2 * (x^2 - 1) x^2 - 5 <= -2x^2 + 2 3x^2 >= 7 x^2 >= 7/3 Здесь нет значений x, удовлетворяющих обоим условиям x >= √5 и -1 < x < 1, так как интервалы не пересекаются.

3. -√5 < x < √5, x >= 1: Здесь x^2 - 5 положительно, а x^2 - 1 также положительно: (x^2 - 5) / (x^2 - 1) >= 2 (x^2 - 5) >= 2 * (x^2 - 1) x^2 - 5 >= 2x^2 - 2 x^2 <= 3 Здесь нет значений x, удовлетворяющих обоим условиям -√5 < x < √5 и x >= 1, так как интервалы не пересекаются.

4. -√5 < x < √5, -1 < x < 1: Здесь x^2 - 5 и x^2 - 1 отрицательны: (5 - x^2) / (x^2 - 1) >= 2 (x^2 - 5) <= -2 * (x^2 - 1) x^2 - 5 <= -2x^2 + 2 3x^2 <= 7 x^2 <= 7/3 Здесь нет значений x, удовлетворяющих обоим условиям -√5 < x < √5 и -1 < x < 1, так как интервалы не пересекаются.

Итак, у нас остается только один интервал, в котором можно удовлетворить неравенству:

Ответ: x принадлежит отрезку [√3, ∞).