Question

Помогите решить интеграл!!!!!!!!1 интеграл 1/(1+sin^2)2x dx

Answer 1

$\int \frac{dx}{1+sin^22x}=\int \frac{\frac{dx}{cos^22x}}{\frac{1}{cos^22x}+tg^22x}\, dx=\int \frac{\frac{1}{2}\cdot d(tg2x)}{1+tg^22x+tg^22x}=\frac{1}{2}\int \frac{d(tg2x)}{1+2tg^22x}=\\\\=\Big [\; t=tg2x\; ,\; dt=\frac{2\, dx}{cos^22x}\; \Big ]=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{1+2t^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt2}\cdot arctg\frac{\sqrt2t}{1}+C=\\\\=\frac{1}{2\sqrt2}\cdot arctg(\sqrt2\, tg2x)+C$

Answer 2

Конечно, помогу решить данный интеграл.

Для начала, давайте преобразуем выражение под знаком интеграла, чтобы упростить интегрирование. Заметим, что $(\sin^2 x)' = 2\sin x \cos x$, а также $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Теперь заменим $\sin^2 x$ на $\cos^2 x$ в исходном интеграле:

$\int \frac{1}{(1+\sin^2 x)^2} dx = \int \frac{1}{(1+(\cos^2 x))^2} dx$

Теперь заменим переменную, пусть $u = \cos x$. Тогда $du = -\sin x dx$.

Интеграл примет вид:

$-\int \frac{1}{(1+u^2)^2} du$

Теперь проведем интегрирование. Для этого воспользуемся методом подстановки:

Пусть $v = 1+u^2$, тогда $dv = 2u du$.

Интеграл становится:

$-\frac{1}{2}\int \frac{1}{v^2} dv = -\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{v} \right) + C = \frac{1}{2v} + C$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, заменим $v$ обратно на $1+u^2$, и получим окончательный ответ:

$\int \frac{1}{(1+\sin^2 x)^2} dx = \frac{1}{2(1+\cos^2 x)} + C$

Где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.