Question

Докажите , что трапеция равнобедренная , если диагонали трапеции равны .

Answer 1

Дано BD=AC

Док-во: Опустим высоты из точек В и С, и рассмотрим 3-ки BKD и ACM. Они прямоугольные.

BK=CM - перпендикуляры между параллельными прямыми. ВD=AC - по условию. Значит, 3-ки равны по гипотенузе и катету.

Тогда угол BDA = углу CAD.

Рассмотрим 3-ки ACD и DAB. Они равны по двум сторонам и углу между ними:

BD=AC, AD - общая,  /_ BDA = /_CAD (доказано выше).

Из их равенства следует, что AB=CD.

Answer 2

Для доказательства того, что трапеция является равнобедренной, если её диагонали равны, рассмотрим следующую трапецию ABCD, где AB и CD - основания трапеции, а AC и BD - её диагонали:

cssCopy code
       A _________ B
        |         |
        |         |
        |         |
       D|_________|C

Поскольку дано, что диагонали AC и BD равны, обозначим их равными отрезками:

AC = BD (дано)

Теперь рассмотрим треугольники ABC и CDA. У этих треугольников есть две общих стороны - AB и CD (основания трапеции). Также у них есть общая диагональ AC (половина диагонали трапеции).

Из равенства диагоналей (AC = BD) и общих сторон следует, что треугольники ABC и CDA равны по стороне-сторона-сторона (SSS):

1. AB = CD (основания трапеции равны)
2. AC = AC (диагонали равны)
3. BC = DA (общая сторона трапеции)

Таким образом, мы доказали, что треугольники ABC и CDA равны.

Теперь, чтобы доказать, что трапеция ABCD является равнобедренной, достаточно показать, что соответствующие углы у оснований равны. Из равенства треугольников ABC и CDA следует, что у них равны углы при основаниях, то есть углы у оснований трапеции:

∠A = ∠C ∠B = ∠D

Таким образом, у трапеции ABCD равны два угла, прилежащих к равным сторонам, что и делает её равнобедренной.

В результате, если диагонали трапеции равны, то она также является равнобедренной.