Question

Найдите наименьшее и наибольшее значение функции : y=2(x-1)2 а) на отрезке [0;2} б) на луче (-бесконечность;1) в) на луче[0;+бесконечность) г) на отрезке [1;2] Все нужно расписать

Answer 1

Сначала находим производную, приравниваем ее к нулю, находим рули производной, дальше на фото

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции $y = 2(x - 1)^2$ на различных интервалах, мы должны проанализировать поведение функции на каждом из этих интервалов. Для этого найдем экстремумы (минимумы и максимумы) функции на каждом интервале, а также проверим ее поведение на границах интервалов.

а) На отрезке [0; 2]:

На данном интервале $0 \leq x \leq 2$, функция $y = 2(x - 1)^2$ является параболой, которая направлена вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Это означает, что функция имеет минимум на границе интервала или на вершине параболы.

1. Границы интервала:

   • При $x = 0$: $y = 2(0 - 1)^2 = 2$
   • При $x = 2$: $y = 2(2 - 1)^2 = 2$

2. Вершина параболы: Вершина параболы имеет координаты $(h, k)$, где $h$ - абсцисса вершины, а $k$ - ордината вершины. Для функции $y = a(x - h)^2 + k$, координаты вершины равны $(h, k)$.

   В нашем случае $a = 2$ и $h = 1$, так как у нас $y = 2(x - 1)^2$. Подставим $h = 1$ в уравнение: $k = 2(1 - 1)^2 = 2(0)^2 = 0$

   Итак, вершина параболы имеет координаты $(1, 0)$.

Таким образом, на отрезке [0; 2] наименьшее и наибольшее значения функции равны: Наименьшее: $y_{\text{min}} = 0$ (достигается в точке $x = 1$ - вершина параболы) Наибольшее: $y_{\text{max}} = 2$ (достигается в точках $x = 0$ и $x = 2$ - границы интервала)

б) На луче (-бесконечность; 1):

На данном луче $x < 1$, и функция $y = 2(x - 1)^2$ будет стремиться к бесконечности при $x$ стремящемся к $-\infty$, так как $(x - 1)^2$ становится очень большим положительным числом. Функция не имеет границы на этом луче, и мы можем только сказать, что $y$ неограниченно возрастает при $x \to -\infty$.

в) На луче [0; +бесконечность):

На данном луче $x \geq 0$, и функция $y = 2(x - 1)^2$ будет стремиться к бесконечности при $x$ стремящемся к $+\infty$, так как $(x - 1)^2$ становится очень большим положительным числом. Функция не имеет границы на этом луче, и мы можем только сказать, что $y$ неограниченно возрастает при $x \to +\infty$.

г) На отрезке [1; 2]:

На данном интервале $1 \leq x \leq 2$, функция $y = 2(x - 1)^2$ снова является параболой, направленной вверх.

1. Границы интервала:

   • При $x = 1$: $y = 2(1 - 1)^2 = 0$
   • При $x = 2$: $y = 2(2 - 1)^2 = 2$

2. Вершина параболы: Как уже было рассчитано, вершина параболы имеет координаты $(1, 0)$.

Таким образом, на отрезке [1; 2] наименьшее и наибольшее значения функции равны: Наименьшее: $y_{\text{min}} = 0$ (достигается в точке $x = 1$ - вершина параболы) Наибольшее: $y_{\text{max}} = 2$ (достигается в точке $x = 2$ - граница интервала)