Question

Выделение квадрата двучлена из квадратного трёхчлена.Как это нужно делать,можно пример с объяснениями?

Answer 1

Имеется трехчлен х²+18х-3. Нам нужно создать формулу квадрата суммы. Число 18 - это удвоенное второе слагаемое в формуле, значит второе слагаемое равно половине от 18, т.е. 9. Создаем формулу (х+9)² = х²+18х+81. У нас в трехчлене есть первое и второе слагаемые, нужно добавить третье, т.е. 81. Для сохранения величину трехчлена еще вычтем 81.

х²+18х-3 = х²+18х+81 -81-3 = (х+9)²-84. Вот и выделили формулу.

Еще пример. х²-6х+8 = х²-6х+9-9+8 = (х-3)²-1. Более трудные примеры, когда старший коэффициент не равен 1. Его вынеси за скобки.

3х²+12х-15 = 3(х²+4х-5) = 3(х²+4х+4-4-5) = 3((х+2)²-9) = 3(х+2)² -27.

Answer 2

Чтобы выделить квадрат из квадратного трехчлена, нужно найти такой двучлен (бином), который является квадратом этого двучлена, и добавить его и его обратное значение к исходному трехчлену. Для лучшего понимания рассмотрим процесс на примере.

Пусть у нас есть квадратный трехчлен:

$ax^2 + bx + c$

Чтобы выделить квадрат, нам нужно найти двучлен, который можно записать в виде $(dx + e)^2$, где $d$ и $e$ - некоторые числа. Заметим, что квадрат такого двучлена будет равен:

$(dx + e)^2 = d^2x^2 + 2dxe + e^2$

Теперь сравним это с нашим исходным квадратным трехчленом $ax^2 + bx + c$. Чтобы сделать оба выражения равными, нужно выполнить следующее:

1. Квадратные члены $ax^2$ и $d^2x^2$ должны быть равны: $a = d^2$.
2. Линейные члены $bx$ и $2dxe$ должны быть равны: $b = 2de$.
3. Свободные члены $c$ и $e^2$ должны быть равны: $c = e^2$.

Теперь решим систему уравнений, состоящую из этих трех уравнений:

1. $a = d^2$
2. $b = 2de$
3. $c = e^2$

Теперь найдем значения $d$ и $e$. Для этого воспользуемся уравнениями 1 и 3:

$d^2 = a \Rightarrow d = \sqrt{a}$

$e^2 = c \Rightarrow e = \sqrt{c}$

Теперь, зная значения $d$ и $e$, мы можем записать выделенный квадрат:

$\sqrt{a}x + \sqrt{c}$

Теперь для завершения процесса выделения квадрата, нужно добавить этот двучлен и его обратное значение к исходному квадратному трехчлену:

$ax^2 + bx + c + (\sqrt{a}x + \sqrt{c}) + (-\sqrt{a}x - \sqrt{c})$

Замечание: В данном случае, если вычесть и добавить $\sqrt{a}x$ и $\sqrt{c}$, они будут взаимно уничтожаться, и нам останется только исходный квадратный трехчлен.

В результате:

$\text{Квадрат из исходного квадратного трехчлена:} \quad ax^2 + bx + c$

Понимание этого метода поможет вам легко выделять квадраты из квадратных трехчленов и упрощать их.