Question

Составить уравнение по теореме Виета (с решением) (13 баллов)

Answer 1

А где уравнение? Правило лёгкое сумма равна противоположному числу p а произведение q

Answer 2

Теорема Виета устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Пусть у нас есть квадратное уравнение вида:

$ax^2 + bx + c = 0.$

Согласно теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна отрицательному коэффициенту при $x$ в уравнении, а произведение корней равно коэффициенту при $x^2$ деленному на $a$.

Теперь, составим уравнение по теореме Виета. Пусть $x_1$ и $x_2$ - корни данного уравнения. Тогда у нас есть:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.$

Примем произвольные значения для $b$ и $c$, а для $a$ выберем такое значение, чтобы уравнение имело два различных вещественных корня. Например, пусть $b = 5$ и $c = 6$. Тогда:

$x_1 + x_2 = -\frac{5}{a},$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{a}.$

Для простоты решения, давайте выберем $a = 1$. Теперь получаем систему уравнений:

$x_1 + x_2 = -5,$ $x_1 \cdot x_2 = 6.$

Решим эту систему уравнений. Выразим из первого уравнения одну из переменных (допустим, $x_1$) и подставим во второе уравнение:

$x_1 = -5 - x_2,$ $(x_1)(x_2) = 6.$

Подставим первое уравнение во второе:

$(-5 - x_2)(x_2) = 6.$

Раскроем скобки:

$-5x_2 - x_2^2 = 6,$

и приведем уравнение к стандартному виду:

$x_2^2 + 5x_2 + 6 = 0.$

Таким образом, получили квадратное уравнение $x_2^2 + 5x_2 + 6 = 0$. Убедимся, что у этого уравнения сумма корней равна $-5$ и произведение корней равно $6$. Решим уравнение:

$x_2 = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1},$ $x_2 = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2},$ $x_2 = \frac{-5 \pm 1}{2}.$

Таким образом, корни уравнения $x_2^2 + 5x_2 + 6 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.

Итак, уравнение, составленное по теореме Виета, равно:

$x^2 + 5x + 6 = 0.$

Его корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.