Question

Число 1 - i является корнем уравнения x^3-ax^2+2bx-b=0, где a и b - вещественные числа. Найдите a, b и остальные корни этого уравнения.

Answer 1

воспользуемся теоремой Виета, т.к. b - вещественное, то корень х2 - комплексный и равен 1+i, а х3 вещественный

По теореме Виета

(1-i)+(1+i)+х3=a

(1-i)*(1+i)*x3=b

(1-i)*x3+(1-i)*(1+i)+(i+1)*x3=2b

2+x3=a   a=3

2x3=b   2*x3=1+x3  x3=1

2+2x3=2b   1+x3=b  b=2

x^3-3x^2+4x-2=0

x1=1-i

x2=1+i

x3=1

a=3 b=2

Answer 2

Дано уравнение:

x^3 - ax^2 + 2bx - b = 0

Мы знаем, что число 1 - i является одним из корней этого уравнения. Поскольку коэффициенты уравнения вещественные числа, то корни уравнения делятся на пары комплексно-сопряженных чисел. Таким образом, корни уравнения будут 1 - i, 1 + i и еще один корень, который обозначим как z.

Используем формулу Виета для суммы корней:

сумма корней = a/1

По условию сумма корней равна a, поэтому:

a = 1 + 1 + z a = 2 + z ...........(1)

Теперь используем формулу Виета для произведения корней:

произведение корней = (-1)^n * b/a

где n - степень уравнения, в данном случае n=3.

произведение корней = b/a

По условию произведение корней равно 1, поэтому:

b/a = 1 b = a ...........(2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2), которую мы можем решить, чтобы найти значения a и b.

Подставим значение b из уравнения (2) в уравнение (1):

a = 2 + z a = 2 + b

Теперь приравняем выражения для a:

2 + z = 2 + b

Теперь заменим b на a (из уравнения 2):

2 + z = 2 + a

Теперь выразим z:

z = a

Таким образом, мы нашли, что z = a. Теперь у нас есть значения a и b:

a = z b = a

Таким образом, корни уравнения будут: 1 - i, 1 + i и a.