Question

Найти сумму цифр числа 2^2018 умножить на 5^2019

Answer 1

$2^{2018}\cdot5^{2019}=2^{2018}\cdot5^{2018}\cdot5=5\cdot(2\cdot5)^{2018}=5\cdot10^{2018}$

суммa цифр:

5+2018·0=5

Answer 2

Для того чтобы найти сумму цифр числа $2^{2018} \times 5^{2019}$, первым шагом нужно вычислить значение этого числа.

По свойствам степеней можно упростить задачу: $2^{2018} \times 5^{2019} = 2^{2018} \times (5^2)^{1009} = 2^{2018} \times 25^{1009}.$

Теперь посмотрим на числовое значение: $2^{2018} = 2 \times 2 \times 2 \times \ldots \times 2 \text{ (2018 раз)}.$

Для нахождения последних двух цифр числа $2^{2018}$ нужно посмотреть на периодичность остатков чисел 2 при делении на 25: $2^1 \equiv 2 \pmod{25},$ $2^2 \equiv 4 \pmod{25},$ $2^3 \equiv 8 \pmod{25},$ $2^4 \equiv 16 \pmod{25},$ $2^5 \equiv 7 \pmod{25},$ $2^6 \equiv 14 \pmod{25},$ $2^7 \equiv 3 \pmod{25},$ $2^8 \equiv 6 \pmod{25},$ $2^9 \equiv 12 \pmod{25},$ $2^{10} \equiv 24 \pmod{25},$

и так далее.

Мы видим, что остатки при делении степеней 2 на 25 образуют период длиной 10: $2, 4, 8, 16, 7, 14, 3, 6, 12, 24$.

Теперь разделим 2018 на 10 и найдем остаток: $2018 \mod 10 = 8.$

Таким образом, $2^{2018} \equiv 6 \pmod{25}$.

Теперь объединим остатки от деления на 100 и на 25: $2^{2018} = 2^{10 \times 201 + 8} = (2^{10})^{201} \times 2^8 \equiv 1^{201} \times 6 = 6 \pmod{100}.$

Итак, последние две цифры числа $2^{2018}$ равны 06.

Теперь, чтобы найти число $2^{2018} \times 5^{2019}$, умножим последние две цифры $2^{2018}$ (то есть 06) на число $5^{2019}$. Для этого также нужно найти последние две цифры числа $5^{2019}$.

Остатки от деления степеней 5 на 100 образуют период длиной 20: $5^1 \equiv 5 \pmod{100},$ $5^2 \equiv 25 \pmod{100},$ $5^3 \equiv 25 \times 5 = 125 \equiv 25 \pmod{100},$ $5^4 \equiv 25 \times 25 = 625 \equiv 25 \pmod{100},$

и так далее.

Теперь разделим 2019 на 20 и найдем остаток: $2019 \mod 20 = 19.$

Таким образом, $5^{2019} \equiv 25 \pmod{100}$.

Теперь умножим последние две цифры $2^{2018}$ на последние две цифры $5^{2019}$: $06 \times 25 = 150.$

Следовательно, сумма цифр этого числа равна: $1 + 5 + 0 = 6.$

Таким образом, сумма цифр числа $2^{2018} \times 5^{2019}$ равна 6.