Question

Постройте график и опишите свойства функции f(x)=-2x^2-4x+1

Answer 1

$f(x)=-2x^2-4x+1;\\f(x)=-2(x^2+2*1x+1-1)+1;\\f(x)=-2(x+1)^2+3$

Это парабола ветви которой направлены вниз, координаты её вершины (-1;3). Пересекает оси в точках:

$f(0)=-2*0^2-4*0+1=1\\x(0)=б\sqrt{\frac{3}{2} } -1$

Свойства:

Область определения D(f(x)): все числа.

Область значения E(x): (-∞;3].

x(0)=±√(3/2)-1 это корни.

Функция непрерывная, её производная:

$f^'(x)=-2*2(x+1)(1*x^0+0)+0=-4x-4$

Answer 2

Для построения графика функции f(x) = -2x^2 - 4x + 1, мы можем использовать математические методы или графические инструменты. В этом ответе я предоставлю вам оба варианта.

1. Математический подход:

a) Найдем вершину параболы: Функция имеет квадратный член -2x^2, который открывает вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой x = -b / (2a). Для нашей функции a = -2, b = -4. x = -(-4) / (2 * -2) = -4 / -4 = 1

Теперь, чтобы найти ординату вершины, подставим x = 1 в уравнение: f(1) = -2 * (1)^2 - 4 * 1 + 1 = -2 - 4 + 1 = -5

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1, -5).

b) Найдем ось симметрии: Ось симметрии параболы проходит через вершину и параллельна оси y. В данном случае это ось x = 1.

c) Найдем пересечения с осями координат: Для пересечения с осью y подставим x = 0 в уравнение: f(0) = -2 * (0)^2 - 4 * 0 + 1 = 1 Таким образом, парабола пересекает ось y в точке (0, 1).

Для пересечения с осью x подставим f(x) = 0 и решим уравнение: -2x^2 - 4x + 1 = 0

Используя квадратное уравнение, получаем два корня: x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4 * (-2) * 1)) / (2 * -2) x = (4 ± √(16 + 8)) / -4 x = (4 ± √24) / -4 x = (4 ± 2√6) / -4 x = -1 ± √6

Таким образом, парабола пересекает ось x в двух точках (-1 + √6, 0) и (-1 - √6, 0).

2. Графический подход:

Теперь, когда у нас есть некоторая информация о функции, давайте построим ее график:

*Замечание: Ниже приведен график функции f(x) = -2x^2 - 4x + 1, который сгенерирован на основе математических расчетов. Если вы читаете этот ответ на устройстве с поддержкой интерактивности, вы можете попробовать нарисовать этот график самостоятельно, используя онлайн-инструменты для построения графиков.

Свойства функции f(x) = -2x^2 - 4x + 1:

1. Функция является параболой, открывающейся вниз, так как коэффициент при квадратном члене (-2x^2) отрицательный.

2. Вершина параболы находится в точке (1, -5). Парабола достигает своего максимального значения в этой точке.

3. Ось симметрии параболы проходит через точку (1, -5) и параллельна оси y.

4. Парабола пересекает ось y в точке (0, 1).

5. Парабола пересекает ось x в двух точках (-1 + √6, 0) и (-1 - √6, 0).

6. Функция непрерывна и гладкая на всей области определения (всех действительных числах).

7. Значения функции убывают по мере приближения к вершине параболы, а возрастают по мере удаления от вершины.

8. Максимальное значение функции f(x) равно -5 (достижимо в точке вершины).

9. Функция ограничена снизу и не имеет нижней границы (так как коэффициент при x^2 отрицательный).