Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций y=6-x² и y=x+4 (c графиком пожалуйста)

Answer 1

Вычислим точки пересечения графиков.

$6-x^{2}=x+4\\x^{2}+x-2=0\\(x+2)(x-1)=0$

[-2;1]

$\int\limits^{1}_{-2} {((6-x^{2})-(x+4))} \, dx= \int\limits^{1}_{-2} {((2-x^{2}-x))} \, dx=\\=2x-\frac{x^{3}}{3} -\frac{x^{2}}{2} =\\=(2*1-\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{2}}{2} )-(2*(-2)-\frac{(-2)^{3}}{3} -\frac{(-2)^{2}}{2})=4,5$кв.ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y=6-x² и y=x+4, необходимо найти точки их пересечения и затем проинтегрировать разность функций по оси x в пределах этих точек.

Для начала, найдем точки пересечения этих двух функций, приравняв их друг другу:

6 - x² = x + 4

Приравниваем нулю:

x² + x - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

x = (-1 ± √(1 + 8)) / 2 x = (-1 ± √9) / 2 x = (-1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = -2 и x = 1.

Теперь построим график функций y=6-x² и y=x+4:

Для этого нарисуем графики каждой функции на отдельной координатной плоскости и обозначим точки пересечения:

Предельные точки: x = -2 и x = 1 Функция y=6-x²:

При x = -2, y = 6 - (-2)² = 6 - 4 = 2 При x = 1, y = 6 - 1² = 6 - 1 = 5

Функция y=x+4:

При x = -2, y = (-2) + 4 = 2 При x = 1, y = 1 + 4 = 5

Теперь графически нарисуем область, ограниченную этими двумя функциями и вертикальными линиями x = -2 и x = 1. Область будет представлять собой фигуру, ограниченную графиками обеих функций и вертикальными линиями:

luaCopy code
     |
  6  +------------------------------------+
     |XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX|
     |XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX|
     |XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX|
  5  +-----------------------X------------+
     |                       X            |
     |                       X            |
  4  +-----------------------X            +
     |                       X            |
     |                       X            |
  3  +-----------------------X            +
     |                       X            |
     |                       X            |
  2  +--------------X--------X------------+
     |              X        X            |
     |              X        X            |
  1  +--------------X--------X------------+
     |              X        X            |
     |              X        X            |
  0  +--------------X--------X------------+
    -3    -2       -1       0       1

Теперь, чтобы найти площадь этой фигуры, нужно проинтегрировать разность функций (y=6-x² - y=x+4) по оси x в пределах точек пересечения (-2 и 1):

Площадь = ∫[(6 - x²) - (x + 4)] dx от -2 до 1

Посчитаем интеграл:

Площадь = ∫[6 - x² - x - 4] dx от -2 до 1

Площадь = ∫[2 - x - x²] dx от -2 до 1

Площадь = [2x - (x²/2) - (x³/3)] от -2 до 1

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = [(21 - (1²/2) - (1³/3)) - (2(-2) - ((-2)²/2) - ((-2)³/3))]

Площадь = [(2 - 1/2 - 1/3) - (-4 + 2 - 8/3)]

Площадь = [(6/6 - 1/6) - (-4 + 6 - 8/3)]

Площадь = [(5/6) - (-2/3)]

Площадь = 5/6 + 2/3

Площадь = 5/6 + 4/6

Площадь = 9/6

Площадь = 3/2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=6-x² и y=x+4, равна 3/2 или 1.5 (квадратных единиц).