Question

1,10 и 13 члены арифметической прогрессии взятые в данном порядке, образуют убывающую геометрическую прогрессию. Известно, что 5-й член арифметической прогрессии равен 38. Найдите сумму первых 15-и членов этой прогрессии.

Answer 1

а₅ = 38  ⇒   а₁ + 4d = 38   ⇒  a₁ = 38 - 4d

По свойству геометрической прогрессии:

$\tt {a_{10}}^2=a_1\cdot a_{13}\\\\ (a_1+9d)^2=a_1(a_1+12d)\\\\ {a_1}^2+18a_1d+81d^2={a_1}^2+12a_1d\\\\81d^2+6a_1d=0\\\\81d^2+6d(38-4d)=0\\\\ 81d^2+228d-24d^2=0\\\\ 57d^2+228d=0 \ \ |:57\\\\ d^2+4d=0\\\\ d(d+4)=0\\\\1) \ d=0 \ \ \ \ \O\\\\2) \ d+4=0\\{} \ \ \ \ \bold{d=-4}\\\\\\ a_1=38-4d=38-4(-4)=38+16=54\\\\\\ S_{15}=\cfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n= \cfrac{2\cdot54+(-4)(15-1)}{2}\cdot 15=390$

Ответ: 390

Answer 2

Для решения этой задачи давайте предположим, что наша арифметическая прогрессия имеет общий разность d, и первый член равен a1.

Так как 5-й член арифметической прогрессии равен 38, мы можем записать:

a1 + 4d = 38

Теперь давайте найдем 1-й, 10-й и 13-й члены арифметической прогрессии:

a1 + 0d = a1 a1 + 9d = a1 + 9d a1 + 12d = a1 + 12d

Известно, что эти три члена образуют убывающую геометрическую прогрессию. Таким образом, их отношения равно:

(a1 + 9d) / a1 = (a1 + 12d) / (a1 + 9d)

Теперь можем решить уравнение для d:

(a1 + 9d)^2 = (a1 + 12d) * a1

a1^2 + 18ad + 81d^2 = a1^2 + 12ad + a1d

6ad = 81d^2

6a = 81d

a = 81d / 6

a = 13.5d

Теперь, когда у нас есть значение a, мы можем найти значение d, подставив в уравнение a1 + 4d = 38:

13.5d + 4d = 38

17.5d = 38

d = 38 / 17.5

d ≈ 2.1714

Теперь мы знаем общую разность (d) и первый член (a1) арифметической прогрессии. Чтобы найти сумму первых 15 членов этой прогрессии (S15), мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

Sn = n/2 * (a1 + an)

где n - количество членов прогрессии, a1 - первый член, а an - последний член.

Теперь нам нужно найти a15:

a15 = a1 + (15-1) * d a15 = a1 + 14 * d

a15 = 13.5d + 14 * d a15 = 27.5d ≈ 59.713

Теперь можем найти сумму S15:

S15 = 15/2 * (a1 + a15) S15 = 15/2 * (13.5d + 27.5d) S15 = 15/2 * 41d S15 = 15/2 * 41 * 2.1714 ≈ 788.079

Таким образом, сумма первых 15 членов этой арифметической прогрессии составляет примерно 788.079.