Question

Найдите наименьшее значение функции: y=x^3-147x+19, на отрезке от [0;8].

Answer 1

Найти наименьшее значение функции y=x³-147x+19 на отрезке [0;8].

Производная равна y' = 3x² - 147.

Приравняем её нулю: 3x² - 147 = 3(x² - 49) = 3(x - 7)(х + 7) = 0.

Проверим х - 7 = 0,  х = 7.

Это критическая точка. Находим знаки производной левее и правее её.  

х =      6          7            8

y' =   -39        0           45.

Как видим,в точке х = 7 минимум функции. Её значение равно:

у = 7³ - 147*7 + 19 = -667.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = x^3 - 147x + 19 на отрезке [0;8], нужно выполнить следующие шаги:

1. Вычислите значения функции на концах интервала [0;8], то есть при x = 0 и x = 8.
2. Вычислите значения функции в критических точках внутри интервала. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.
3. Сравните найденные значения функции и выберите наименьшее из них.

Шаг 1: Вычисление значений функции на концах интервала

• При x = 0: y(0) = 0^3 - 147 * 0 + 19 = 19.
• При x = 8: y(8) = 8^3 - 147 * 8 + 19 = 8 * (64 - 147) + 19 = -743.

Шаг 2: Вычисление значений функции в критических точках

Для этого найдем производную функции y по x и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки:

y = x^3 - 147x + 19 y' = 3x^2 - 147.

Теперь решим уравнение:

3x^2 - 147 = 0 3x^2 = 147 x^2 = 49 x = ±√49 x = ±7.

Таким образом, у нас есть две критические точки x = 7 и x = -7. Но по условию нас интересует только отрезок [0;8], поэтому мы рассмотрим только x = 7.

• При x = 7: y(7) = 7^3 - 147 * 7 + 19 = 343 - 1029 + 19 = -667.

Шаг 3: Сравнение значений функции

Теперь сравним найденные значения функции:

• y(0) = 19
• y(8) = -743
• y(7) = -667.

Наименьшее значение функции на отрезке [0;8] равно -743 и достигается при x = 8.