Question

Найти экстремум y＝x∧3+10x∧2+10 Найти У наиб. и У наим. y＝x∧3-3x+10 [-3，2]

Answer 1

1) Найти экстремум  y ＝ x³ + 10x² + 10.

y' = 3x² + 20x = x(3x + 20) = 0.

Отсюда имеем 2 критические точки: х = 0 и х = -20/3.

Находим знаки производной на промежутках:

х =  -7 -6,6667  -1      0   1

y' = 7   0        -17 0 23.

В точке х = -20/3 максимум (локальный), в точке  х = 0 минимум.

2) Найти У наиб. и У наим.  y＝x³ - 3x + 10 на промежутке [-3，2].

y' = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 0. Отсюда х = +-1.

Находим знаки производной на промежутках:

x =      -2       -1        0       1        2

y' =      9       0      -3        0        9.

В точке х = -1 максимум, у = (-1)³ - 3*(-1) + 10 = -1 + 3 +1 0 = 12.

В точке х = 1 минимум, у = 1³ - 3*1 + 10 = 8.

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции необходимо найти её производные и решить уравнения, приравнивая их к нулю.

1. Функция y = x^3 + 10x^2 + 10: Для начала, найдем производную функции y по x и приравняем её к нулю:

y = x^3 + 10x^2 + 10 y' = 3x^2 + 20x

Теперь приравняем y' к нулю и решим уравнение:

3x^2 + 20x = 0

Факторизуем уравнение:

x(3x + 20) = 0

Итак, у нас два возможных значения для x:

1. x = 0
2. 3x + 20 = 0 => 3x = -20 => x = -20/3 ≈ -6.67

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого из найденных x:

1. x = 0: y = 0^3 + 10*0^2 + 10 = 10
2. x = -20/3: y = (-20/3)^3 + 10*(-20/3)^2 + 10 ≈ -464.44

Таким образом, у нас есть два кандидата на экстремум:

• Минимум при x ≈ -6.67, y ≈ -464.44
• Максимум при x = 0, y = 10

2. Функция y = x^3 - 3x + 10 на интервале [-3, 2]:

По аналогии с предыдущим примером, найдем производную функции y по x и приравняем её к нулю:

y = x^3 - 3x + 10 y' = 3x^2 - 3

Приравняем y' к нулю и решим уравнение:

3x^2 - 3 = 0

Решение этого уравнения даст нам значения x, для которых производная равна нулю:

3x^2 = 3 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, у нас есть два возможных значения для x:

1. x = 1
2. x = -1

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого из найденных x:

1. x = 1: y = 1^3 - 3*1 + 10 = 8
2. x = -1: y = (-1)^3 - 3*(-1) + 10 = 12

Таким образом, у нас есть два кандидата на экстремум:

• Минимум при x = 1, y = 8
• Максимум при x = -1, y = 12

Теперь сравним значения y на границах интервала [-3, 2] с найденными кандидатами:

• При x = -3: y = (-3)^3 - 3*(-3) + 10 = -8
• При x = 2: y = 2^3 - 3*2 + 10 = 12

Таким образом, наименьшее значение функции y на интервале [-3, 2] равно -8 (достигается при x = -3), а наибольшее значение равно 12 (достигается при x = 2).

Итак, экстремумы функции y = x^3 - 3x + 10 на интервале [-3, 2] следующие:

• Наименьший экстремум: (x = -3, y = -8)
• Наибольший экстремум: (x = 2, y = 12)