Question

Найти первообразную: 1) ∫ cos(3x-2)dx 2) ∫ 5ax⁴ dx

Answer 1

1) ∫ cos(3x-2)dx = =

d(3x-2) = 3 dx

dx = d(3x-2) / 3

= = ∫ cos(3x-2) d(3x-2) / 3 = 1/3 ∫ cos(3x-2) d(3x-2) = 1/3 sin(3x-2) + C

2) ∫ 5ax⁴ dx = 5a ∫ x⁴ dx = 5a * x^5/5 + C  = a x^5 + C  

Answer 2

Для нахождения первообразной функции от заданного выражения ∫f(x)dx, нам нужно найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x). Таким образом, для каждого из заданных интегралов:

1. ∫cos(3x-2)dx:

Мы знаем, что ∫cos(x)dx = sin(x) + C, где C - произвольная постоянная. В данном случае у нас внутри аргумента cos есть выражение 3x-2, поэтому мы сделаем замену переменных: u = 3x-2, тогда du/dx = 3 => dx = du/3. Теперь интеграл примет вид:

∫cos(3x-2)dx = ∫cos(u) * (1/3) du = (1/3) ∫cos(u) du

Интеграл ∫cos(u) du мы уже знаем: ∫cos(u) du = sin(u) + C.

Теперь вернемся к переменной x: sin(u) + C = sin(3x-2) + C, и это будет первообразной для заданного выражения.

2. ∫5ax⁴ dx:

Здесь у нас есть произведение функций, и для нахождения интеграла мы будем применять обратные правила дифференцирования. Мы знаем, что ∫xⁿ dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1, и C - произвольная постоянная. В данном случае, у нас x⁴, а не xⁿ, поэтому применим данное правило:

∫5ax⁴ dx = (5a/5) * ∫x⁴ dx = a * ∫x⁴ dx

Теперь применим правило для интеграла x⁴:

a * ∫x⁴ dx = a * (x^(4+1))/(4+1) + C = a * x⁵/5 + C

Таким образом, первообразная для выражения 5ax⁴ dx равна a * x⁵/5 + C.