Question

Решите уравнение 1) 4^x+2^x-2=0 2) 9^x+2*3^x-3=0

Answer 1

1) 4ˣ + 2ˣ - 2 = 0

Сделаем замену : 2ˣ = m , m > 0

m² + m - 2 = 0

D = 1² - 4 * (- 2) = 1 + 8 = 9 = 3²

$m_{1}=\frac{-1+3}{2}=1\\\\m_{2}=\frac{-1-3}{2}=-2$

Ответ : 0

2) 9ˣ + 2 * 3ˣ - 3 = 0

Сделаем замену : 3ˣ = m , m > 0

m² + 2m - 3 = 0

D = 2² - 4 * (- 3) = 4 + 12 = 16 = 4²

$m_{1} =\frac{-2+4}{2}=1\\\\m_{2}=\frac{-2-4}{2}=-3$

Ответ : 0

Answer 2

Давайте решим данные уравнения по порядку.

1. Уравнение: 4^x + 2^x - 2 = 0

Для удобства обозначим 2^x = t. Тогда уравнение примет вид: t^2 + t - 2 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение: t^2 + t - 2 = (t + 2)(t - 1) = 0.

Таким образом, получаем два значения t:

1. t + 2 = 0 => t = -2
2. t - 1 = 0 => t = 1

Теперь найдем значения x:

1. 2^x = t = -2 Для решения этого уравнения возникает проблема, так как 2^x не может быть отрицательным при любом значении x. Поэтому в данном случае уравнение не имеет действительных корней.

2. 2^x = t = 1 Теперь решим это уравнение: 2^x = 1.

Заметим, что 2^0 = 1, следовательно, x = 0.

Итак, уравнение 1) не имеет действительных корней, а единственное решение уравнения 2) это x = 0.

2. Уравнение: 9^x + 2 * 3^x - 3 = 0

Для удобства обозначим 3^x = t. Тогда уравнение примет вид: t^2 + 2t - 3 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение: t^2 + 2t - 3 = (t + 3)(t - 1) = 0.

Таким образом, получаем два значения t:

1. t + 3 = 0 => t = -3
2. t - 1 = 0 => t = 1

Теперь найдем значения x:

1. 3^x = t = -3 Для решения этого уравнения возникает проблема, так как 3^x не может быть отрицательным при любом значении x. Поэтому в данном случае уравнение не имеет действительных корней.

2. 3^x = t = 1 Теперь решим это уравнение: 3^x = 1.

Заметим, что 3^0 = 1, следовательно, x = 0.

Итак, уравнение 2) имеет единственное решение: x = 0.