Question

Найти производную: a) y=log3*(16-x^2) б) y=2ln(x+1) Найти первообразную: f(x)=e^x-x^2

Answer 1

y=log₃(16-x²)    y'=1/((16-x²)ln3)*(-2x)=-2x/((16-x²)ln3

y=2ln(x+1)      y'=2/(x+1)

f(x)=eˣ-x²   F(x)=eˣ-x³/3

Answer 2

Давайте рассчитаем производные и первообразные для данных функций:

a) Найдем производную функции y = log₃(16 - x²) по переменной x:

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила):

dy/dx = d/dx [log₃(16 - x²)].

Применим правило дифференцирования логарифма: d/dx [logₐ(u)] = (1 / (u * ln(a))) * du/dx.

Теперь у нас есть:

dy/dx = (1 / ((16 - x²) * ln(3))) * d/dx [16 - x²].

Дифференцируем второе слагаемое по переменной x: d/dx [16 - x²] = -2x.

Теперь можем записать окончательный результат:

dy/dx = (1 / ((16 - x²) * ln(3))) * (-2x).

b) Найдем производную функции y = 2ln(x + 1) по переменной x:

Здесь у нас есть произведение 2 и логарифма, поэтому воспользуемся правилом производной произведения функций:

dy/dx = 2 * d/dx [ln(x + 1)].

Применим правило дифференцирования логарифма: d/dx [ln(u)] = 1/u * du/dx.

Тогда получим:

dy/dx = 2 * (1 / (x + 1)) * d/dx [x + 1].

Дифференцируем второе слагаемое по переменной x: d/dx [x + 1] = 1.

Теперь можем записать окончательный результат:

dy/dx = 2 / (x + 1).

Теперь перейдем к поиску первообразной для функции f(x) = e^x - x²:

Для нахождения первообразной функции нужно найти функцию F(x), производная которой равна данной функции f(x):

F'(x) = e^x - x².

Мы видим, что первое слагаемое e^x соответствует производной функции e^x. А для второго слагаемого -x² нам нужно найти функцию, производная которой равна -x².

Для этого воспользуемся формулой для производной степенной функции (если у вас запрашивают первообразную для функции x^n, то первообразная будет (x^(n+1))/(n+1)):

Первообразная для -x² будет: (-x³)/3.

Теперь можем записать окончательный ответ:

F(x) = e^x - (x³)/3 + C,

где C - произвольная постоянная (константа интегрирования).