Question

Розвязати нерівності x²-6x+9>0 y²-8y+16<0 x(x-3)<-2

Answer 1

1.

$x^2-6x+9>0\\D=36-36=0\\x-\frac{6}{2} >0\\x>3$

Ответ: x∈(3;+∞)

2.

$y^2-8y+16$

Ответ: y∈(-∞;4)

3.

$x(x-3)$

Ответ: x∈(1;2)

Answer 2

Давайте розв'яжемо нерівності по черзі:

1. x² - 6x + 9 > 0:

Спростимо спочатку цю нерівність, враховуючи, що $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$:

$(x-3)^2 > 0$.

Тепер знайдемо, коли квадрат числа є більшим за нуль. Квадрат буде більше за нуль, якщо $x$ буде дорівнювати 3 або буде більше 3 або буде менше 3. Це можна представити у вигляді інтервалів:

$x < 3$ або $x > 3$.

2. y² - 8y + 16 < 0:

Аналогічно спростимо нерівність, враховуючи $y^2 - 8y + 16 = (y-4)^2$:

$(y-4)^2 < 0$.

Оскільки квадрат числа не може бути менше за нуль, то ця нерівність не має розв'язків.

3. x(x-3) < -2:

Розкриємо дужки:

$x^2 - 3x < -2$.

Тепер приведемо нерівність до квадратичного вигляду:

$x^2 - 3x + 2 < 0$.

Для того щоб знайти розв'язки цієї нерівності, розкладемо її на множники:

$x^2 - 3x + 2 = (x-2)(x-1) < 0$.

Тепер можемо скласти таблицю знаків:

$$\begin{array}{c|ccc|c} & x-2 & x-1 & (x-2)(x-1) & (x-2)(x-1) < 0 \\ \hline x < 1 & - & - & + & \text{ні} \\ 1 < x < 2 & - & + & - & \text{так} \\ x > 2 & + & + & + & \text{ні} \\ \end{array}$$

Отже, нерівність виконується тільки у проміжку $1 < x < 2$.

Підсумовуючи:

1. $x < 3$ або $x > 3$.

2. Немає розв'язків.

3. $1 < x < 2$.