Question

Решить уравнение √3 cosx+sinx=2cos2x Помогите, пожалуйста!

Answer 1

√3cosx + sinx = 2cos2x

Разделим обе части данного уравнения на 2

(√3/2)•сosx + (1/2)•sinx = cos2x

sin(π/3)•cosx + cos(π/3)•sinx = cos2x

sinα•cosβ + cosα•sinβ = sin(α + β)

sin( π/3 + x ) = cos2x

sin( π/3 + x ) - cos2x = 0

sin( π/3 + x ) - sin( π/2 - 2x ) = 0

sinα - sinβ = 2•sin( (1/2)•(α - β) )•cos( (1/2)•(α + β) )

2•sin( (1/2)•(π/3 + x - π/2 + 2x) )•cos( (1/2)•(π/3 + x + π/2 - 2x) ) = 0

2•sin( (1/2)•(3x - π/6) )•cos( (1/2)•(-x + 5π/6) ) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) sin( (1/2)•(3x - π/6) ) = 0

(1/2)•(3x - π/6) = πn

3x - π/6 = 2πn

3x = π/6 + 2πn

x = π/18 + 2πn/3 , n ∈ Z

2) cos( (1/2)•(-x + 5π/6) ) = 0

(1/2)•(-x + 5π/6) = π/2 + πk

- x + 5π/6 = π + 2πk

x = - π/6 + 2πk , k ∈ Z

ОТВЕТ:  π/18 + 2πn/3 , n ∈ Z ; - π/6 + 2πk , k ∈ Z

Answer 2

Давайте решим уравнение √3 cosx + sinx = 2cos2x.

Шаг 1: Приведение к более простому виду Заметим, что мы можем заменить cos2x через тригонометрическую формулу двойного угла:

cos2x = 2cos^2(x) - 1

Теперь уравнение примет вид:

√3 cosx + sinx = 2(2cos^2(x) - 1)

Шаг 2: Приведение уравнения к квадратному виду Перенесем все элементы в одну сторону уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:

√3 cosx + sinx - 4cos^2(x) + 2 = 0

Шаг 3: Замена тригонометрических функций Для решения этого уравнения заменим cosx через sinx с помощью тригонометрической тождества:

cos^2(x) + sin^2(x) = 1

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Теперь уравнение будет выглядеть так:

√3 cosx + sinx - 4(1 - sin^2(x)) + 2 = 0

Шаг 4: Приведение уравнения к квадратному виду для sin(x) Теперь заменим √3 cosx через sinx, используя соотношение cosx = ±√(1 - sin^2(x)):

√3 (±√(1 - sin^2(x))) + sinx - 4(1 - sin^2(x)) + 2 = 0

Шаг 5: Решение квадратного уравнения Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Разрешим его:

√3 (√(1 - sin^2(x))) + sinx - 4(1 - sin^2(x)) + 2 = 0

Перенесем все элементы в одну сторону уравнения:

√3 (√(1 - sin^2(x))) - 4(1 - sin^2(x)) + sinx + 2 = 0

Обозначим sin(x) = t:

√3 (√(1 - t^2)) - 4(1 - t^2) + t + 2 = 0

Решим уравнение относительно t. После решения найдем sin(x) и затем найдем соответствующие значения cos(x) с помощью тождества cos^2(x) + sin^2(x) = 1.

Пожалуйста, обратите внимание, что окончательное решение будет довольно сложным, и его может быть непросто выразить в явном виде. Такие уравнения могут иметь аналитические решения в виде бесконечных рядов или не иметь аналитических решений вообще. Если вам нужно численное решение или решение на определенном интервале, лучше использовать численные методы или графический подход.