Question

Докажите тождество: 2tgα/1+tg²α = sin2α

Answer 1

Доказать:

$\frac{2 \tan( \alpha ) }{1 + { \tan( \alpha ) }^{2} } = \sin(2 \alpha )$

Доказательство:

$2 \tan( \alpha ) = 2 \times \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = \frac{2 \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) }$

$1 + { \tan( \alpha ) }^{2} = 1 + ( { \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \beta ) }) }^{2} = 1 + \frac{ { \sin( \alpha ) }^{2} }{ { \cos( \alpha ) }^{2} }$

$\frac{ \frac{2 \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } }{1 + \frac{ { \sin( \alpha ) }^{2} }{ \cos( \alpha )^{2} } } = \frac{ \frac{2 \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } }{ \frac{ { \cos( \alpha ) }^{2} + { \sin( \alpha ) }^{2} }{ { \cos( \alpha ) }^{2} } } = \frac{2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha )^{2} }{ \cos( \alpha ) } = 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) = \sin(2 \alpha )$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать тригонометрические тождества. Первое, с чем мы начнем, это преобразование левой стороны тождества.

Исходное тождество: 2tgα / (1 + tg²α) = sin2α

Шаг 1: Применим тождество тангенса: tg²α + 1 = sec²α

Теперь наше тождество становится: 2tgα / sec²α = sin2α

Шаг 2: Преобразуем тангенс в синус: tgα = sinα / cosα

Теперь наше тождество выглядит так: 2(sinα / cosα) / sec²α = sin2α

Шаг 3: Преобразуем секанс в cosinus: secα = 1 / cosα

Теперь тождество имеет вид: 2(sinα / cosα) / (1 / cos²α) = sin2α

Шаг 4: Упростим выражение в числителе: 2(sinα / cosα) * cos²α = sin2α

Шаг 5: Сократим cosα в числителе: 2sinα * cosα = sin2α

Шаг 6: Применим тригонометрическое тождество для синуса двойного угла: sin2α = 2sinα * cosα

Таким образом, мы получили исходное тождество: 2tgα / (1 + tg²α) = sin2α

Тождество доказано.