Question

Остатки от деления многочлена P(x) на x-1 и x+1 равны соответственно 1 и -7. Найти остаток от деления этого многочлена на x^2-1

Answer 1

Пусть $P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)+ax+b$

1) $P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)+ax+b=(x-1)((x+1)Q(x))+a(x-1)+(a+b)=(x-1)((x+1)Q(x)+a)+(a+b)$ Тогда, по теореме Безу, $a+b=P(1)=1$ → $a=1-b$

2) $P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)+ax+b=(x+1)((x-1)Q(x))+a(x+1)+(-a+b)=(x+1)((x-1)Q(x)+a)+(-a+b)$ Тогда, по теореме Безу, $-a+b=P(-1)=-7$ → $-(1-b)+b=-7$ → $-1+2b=-7$ → $b=-3$ → $a=1-(-3)=4$

3) Тогда $P(x)=(x^2-1)Q(x)+4x-3$ → Остаток от деления $P(x)$ на $x^2-1$ равен $4x-3$

ОТВЕТ: 4x-3

Answer 2

Запишем согласно теореме Безу:

P(x)= (x-1)*g(x)  +1

P(x)=(x+1)*f(x)-7

p(x)*(x+1)=(x^2-1)*g(x) +(x+1)

p(x)*(x-1)=(x^2-1)*f(x)-7*(x-1)

Вычитаем оба равенства:

2*p(x)=(x^2-1)*(g(x)-f(x))  +8x-6

p(x)=(x^2-1)*( (g(x)-f(x))/2 )   +4x-3                                                                             (4x-3  не делится на x^2-1  тк его  степень ниже)

Ответ: остаток   4x-3

Answer 3

Чтобы найти остаток от деления многочлена на $x^2-1$, мы должны использовать остатки от деления многочлена на $x-1$ и $x+1$.

Заметим, что $x^2-1$ можно факторизовать как $(x-1)(x+1)$. Таким образом, чтобы найти остаток от деления многочлена на $x^2-1$, мы должны разделить $P(x)$ на $(x-1)(x+1)$.

Мы знаем, что остатки от деления $P(x)$ на $x-1$ и $x+1$ равны 1 и -7 соответственно. Это означает, что существуют такие числа $a$ и $b$, что:

$P(x) = (x-1)a + 1$ $P(x) = (x+1)b - 7$

Теперь найдем значения $a$ и $b$:

Для $P(x) = (x-1)a + 1$: Подставим $x = 1$: $P(1) = (1-1)a + 1$ $1 = 0 + 1$ $a = 1$

Для $P(x) = (x+1)b - 7$: Подставим $x = -1$: $P(-1) = (-1+1)b - 7$ $P(-1) = -7$ $b = -1$

Теперь, когда мы нашли значения $a$ и $b$, можем выразить $P(x)$ через $a$ и $b$:

$P(x) = (x-1) \cdot 1 + 1$ $P(x) = (x+1) \cdot (-1) - 7$

Теперь объединим эти два многочлена:

$P(x) = x - 1 + 1 - x - 7$ $P(x) = -7$

Таким образом, остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x^2-1$ равен -7.