Question

Знайдіть кут між дотичною до графіка функції f(x)= 2x^2 +3x+1 у точці з абцисою x0 та дадатним напрямом осі Ox: 1)x0 = -3/4 2)x0= -1/2 3)x0= -1

Answer 1

$\(f(x)= 2x^2 +3x+1\)$

Скористаємось геометричним змістом похідної.

$\(f'(x)= 4x +3\)$

1) $\(f'(x_0)= f'(-3/4)=4(-3/4) +3=-3+3=0.\)$ Тобто tgα=0, звідси α=0.

2) $\(f'(x_0)= f'(-1/2)=4(-1/2) +3=-2+3=1.\)$ Тобто tgα=1, звідси α=45°.

3) $\(f'(x_0)= f'(-1)=4(-1) +3=-4+3=-1.\)$ Тобто tgα=-1, звідси α=135°.

Answer 2

Щоб знайти кут між дотичною до графіка функції та осі Ox, необхідно знати похідну функції у точці з абсцисою x0 і підставити її в формулу для кута між дотичною і осі Ox.

1. x0 = -3/4: Спочатку знайдемо похідну функції f(x): f(x) = 2x^2 + 3x + 1 f'(x) = d/dx (2x^2 + 3x + 1) = 4x + 3

Тепер обчислимо похідну у точці x0 = -3/4: f'(-3/4) = 4*(-3/4) + 3 = -3 + 3 = 0

Похідна у даній точці дорівнює 0, що означає, що дотична до графіка буде горизонтальною. Кут між горизонтальною прямою і осі Ox дорівнює 90°.

2. x0 = -1/2: Аналогічно знаходимо похідну: f(x) = 2x^2 + 3x + 1 f'(x) = d/dx (2x^2 + 3x + 1) = 4x + 3

Обчислимо похідну у точці x0 = -1/2: f'(-1/2) = 4*(-1/2) + 3 = -2 + 3 = 1

У даній точці похідна дорівнює 1, що означає, що дотична до графіка функції має нахил під кутом до осі Ox. Кут між дотичною і осі Ox можна знайти за допомогою тангенса цього кута: тангенс кута = похідна у точці x0 тангенс кута = 1

Знаючи тангенс кута, можна знайти сам кут за допомогою тригонометричних таблиць або калькулятора. Кут близький до 45°.

3. x0 = -1: Знову знаходимо похідну: f(x) = 2x^2 + 3x + 1 f'(x) = d/dx (2x^2 + 3x + 1) = 4x + 3

Обчислимо похідну у точці x0 = -1: f'(-1) = 4*(-1) + 3 = -4 + 3 = -1

У даній точці похідна дорівнює -1, що означає, що дотична до графіка функції також має нахил під кутом до осі Ox. Але тепер нахил від'ємний, тобто дотична схиляється в протилежний бік. Кут між дотичною і осі Ox знову можна знайти за допомогою тангенса цього кута: тангенс кута = похідна у точці x0 тангенс кута = -1

Знаючи тангенс кута, знову можна знайти сам кут за допомогою тригонометричних таблиць або калькулятора. Кут близький до -45°.

Отже, відповіді:

1. x0 = -3/4: Кут між дотичною і осі Ox дорівнює 90°.
2. x0 = -1/2: Кут близький до 45°.
3. x0 = -1: Кут близький до -45°.