Question

Найти производную функции: 1) f(x) = x^10 2) f(x) = -6x^2 3) f(x) = -6x^5 - 4x^4 - 3x + 27 4) f(x) = (x^4 - 3)(x^3+4) 5) f(x) = (3 - 2x)^7 6) f(x) = sin 7x 7) f(x) = cos^2x 8) f(x) = cosx + sinx

Answer 1

1) f'(x}=10x^9

2)f'(x}=-12x

3)f'(x}=-30x^4-16x^3-3

4)f'(x}=(x^4-3)'(x^3+4)+(x^4-3)(x^3+4)'=4x^3(x^3+4)+(x^4-3)3x^2=7x^6+16x^3-9x^2

5)f'(x}=7(3-2x)^6(3-2x)'=-14(3-2x)^6

6)f'(x}=7cos7x

7)f'(x}=1/2+1/2(cos2x)'=-sin2x

8)f'(x}=-sinx+cosx

Answer 2

Для каждой функции найдем её производную по переменной x:

1. f(x) = x^10

Производная: f'(x) = 10x^(10-1) = 10x^9

2. f(x) = -6x^2

Производная: f'(x) = -6 * 2x^(2-1) = -12x

3. f(x) = -6x^5 - 4x^4 - 3x + 27

Производная: f'(x) = -6 * 5x^(5-1) - 4 * 4x^(4-1) - 3 * 1x^(1-1) = -30x^4 - 16x^3 - 3

4. f(x) = (x^4 - 3)(x^3 + 4)

Для нахождения производной данного произведения, воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: (f * g)' = f' * g + f * g'

f'(x) = 4x^(4-1) = 4x^3 g'(x) = 3x^(3-1) = 3x^2

f'(x) * g(x) = 4x^3 * (x^3 + 4) = 4x^6 + 16x^3 f(x) * g'(x) = (x^4 - 3) * 3x^2 = 3x^6 - 9x^2

Теперь сложим результаты: f'(x) = 4x^6 + 16x^3 + 3x^6 - 9x^2 = 7x^6 + 16x^3 - 9x^2

5. f(x) = (3 - 2x)^7

Для нахождения производной данной композиции функций, воспользуемся цепным правилом дифференцирования: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

где f(u) = u^7, а g(x) = 3 - 2x.

f'(u) = 7u^(7-1) = 7u^6

Теперь подставим g(x) вместо u и найдем производную f(g(x)): f'(g(x)) = 7(3 - 2x)^6

Теперь найдем производную g(x): g'(x) = -2

Теперь применим цепное правило: f'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = 7(3 - 2x)^6 * -2 = -14(3 - 2x)^6

6. f(x) = sin(7x)

Производная функции синуса: f'(x) = 7 * cos(7x)

7. f(x) = cos^2(x)

Производная функции косинуса в квадрате: f'(x) = -2 * cos(x) * sin(x)

8. f(x) = cos(x) + sin(x)

Производная функции суммы: f'(x) = cos'(x) + sin'(x) = -sin(x) + cos(x)

Вот производные данных функций:

1. f'(x) = 10x^9
2. f'(x) = -12x
3. f'(x) = -30x^4 - 16x^3 - 3
4. f'(x) = 7x^6 + 16x^3 - 9x^2
5. f'(x) = -14(3 - 2x)^6
6. f'(x) = 7 * cos(7x)
7. f'(x) = -2 * cos(x) * sin(x)
8. f'(x) = -sin(x) + cos(x)