Question

У=x^3+13x^2+35x+23 на отрезке[-10;-3] найти наибольшее значение функции

Answer 1

Дана функция у=x^3+13x^2+35x+23.

Её производная равна y' = 3x² + 26x + 35.

Приравняем нулю: 3x² + 26x + 35 = 0.

Д= 676 -4*3*35 = 676 - 420 = 256,  х = (-26 +-16)/(2*3)= -5/3 и -7.

Получили 2 критические точки х = -5/3  и х = -7.

Находим знаки производной в полученных промежутках:

х =     -8        -7        -4        -5/3         -1

y' =   19        0 -21       0     12

Имеем максимум в точке х = -7,  у = 72.

Найдём значения функции в крайних точках заданного промежутка [-10;-3].

х = -10,  у = -27,

х = -3,  у = 8.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке[-10;-3] равно 72.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции $У(x) = x^3 + 13x^2 + 35x + 23$ на отрезке $[-10, -3]$, нужно сначала найти все критические точки функции на данном отрезке и затем сравнить значения функции в этих точках с концами отрезка.

1. Найдем производную функции $У'(x)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки: $У'(x) = 3x^2 + 26x + 35$ $3x^2 + 26x + 35 = 0$

2. Решим квадратное уравнение. Можем заметить, что у нас есть два множителя: $3x^2 + 26x + 35 = (x+5)(3x+7)$. Приравняем каждый из них к нулю и найдем значения $x$: $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$ $3x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{3}$

3. Проверим, лежат ли эти значения $x$ внутри отрезка $[-10, -3]$. Оба значения лежат внутри данного отрезка, так как $-10 \leq -5 \leq -3$ и $-10 \leq -\frac{7}{3} \leq -3$.

4. Теперь найдем значение функции $У(x)$ в каждой из найденных критических точек и на концах отрезка: $У(-5) = (-5)^3 + 13(-5)^2 + 35(-5) + 23$ $У(-\frac{7}{3}) = \left(-\frac{7}{3}\right)^3 + 13\left(-\frac{7}{3}\right)^2 + 35\left(-\frac{7}{3}\right) + 23$ $У(-10) = (-10)^3 + 13(-10)^2 + 35(-10) + 23$ $У(-3) = (-3)^3 + 13(-3)^2 + 35(-3) + 23$

5. Найдем значение функции в каждой из критических точек и на концах отрезка: $У(-5) = -137$ $У(-\frac{7}{3}) = -\frac{250}{27} \approx -9.26$ $У(-10) = -247$ $У(-3) = 5$

6. Теперь сравним полученные значения. Наибольшее значение функции $У(x)$ на отрезке $[-10, -3]$ равно $5$ и достигается в точке $x = -3$.

Таким образом, наибольшее значение функции $У(x) = x^3 + 13x^2 + 35x + 23$ на отрезке $[-10, -3]$ равно $5$ и достигается при $x = -3$.