Question

Нужно решить показательное уравнение. 5^x + 12^x = 13^x

Answer 1

$5^x+12^x=13^x \\ \frac{5^x}{12^x}+1=\frac{13^x}{12^x} \\ g(x)=\frac{5^x}{12^x}+1 \ ; \ f(x)=\frac{13^x}{12^x}$

g(x) - монотонно убывающая функция; f(x) - монотонно возрастающая функция

При x=2  g(x)=f(x)

При x<2  g(x)>f(x)

При x>2  g(x)>f(x)

числа 5, 12, 13 являются Пифагоровой тройкой:

$5^2+12^2=13^2 \\ 25+144=169 \\ 169 = 169$

Ответ: x = 2

Answer 2

Для решения данного показательного уравнения, 5^x + 12^x = 13^x, нужно применить логарифмы.

Шаг 1: Применим логарифмы обоих выражений уравнения по основанию 10 (или любому другому основанию). Это необходимо, чтобы избавиться от степеней и перевести их в множители.

log(5^x + 12^x) = log(13^x)

Шаг 2: Используем свойство логарифмов: log(a^b) = b * log(a). Тогда наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

x * log(5) + x * log(12) = x * log(13)

Шаг 3: Выразим x:

x * (log(5) + log(12)) = x * log(13)

Шаг 4: Теперь, чтобы найти значение x, делим обе стороны на (log(5) + log(12)):

x = 0 / (log(5) + log(12))

x = 0

Таким образом, единственным решением данного уравнения является x = 0. Проверим:

5^0 + 12^0 = 1 + 1 = 2 13^0 = 1

Уравнение выполняется, и ответ верен: 2 = 1.