Question

Знайти суму чотирьох перших членів геометричної прогресії (bn) якщо різниця третього та другого її членів дорівнює 6, а різниця четвертого та другого членів дорівнює 30

Answer 1

42,5. Розв'язання завдання додаю

Answer 2

Для того, щоб знайти суму перших чотирьох членів геометричної прогресії, спочатку потрібно знайти значення першого члена (b₁) та знаменника (q) прогресії.

Загальний вигляд формули для n-го члена геометричної прогресії: bₙ = b₁ * q^(n-1), де bₙ - n-ий член, b₁ - перший член, n - номер члена, q - знаменник.

За умовою задачі, різниця третього та другого членів дорівнює 6, тобто: b₃ - b₂ = 6

Також, різниця четвертого та другого членів дорівнює 30: b₄ - b₂ = 30

Давайте розв'яжемо систему рівнянь для знаходження b₁ та q.

1. Запишемо співвідношення між третім та другим членами: b₃ = b₂ + 6

2. Запишемо співвідношення між четвертим та другим членами: b₄ = b₂ + 30

Тепер, з виразу для n-го члена геометричної прогресії, знайдемо вирази для третього та четвертого членів в термінах b₁ та q:

b₃ = b₁ * q^(3-1) = b₁ * q^2 b₄ = b₁ * q^(4-1) = b₁ * q^3

Підставимо ці вирази у систему рівнянь:

b₁ * q^2 = b₂ + 6 ---(1) b₁ * q^3 = b₂ + 30 ---(2)

Тепер, розділимо (1) на (2) щоб усунути b₂:

(b₁ * q^2) / (b₁ * q^3) = (b₂ + 6) / (b₂ + 30)

q^(-1) = (b₂ + 6) / (b₂ + 30)

Помножимо обидві сторони на (b₂ + 30) щоб усунути дріб:

q^(-1) * (b₂ + 30) = b₂ + 6

Розділимо на q щоб виділити b₂:

b₂ + 30 = q * (b₂ + 6)

Тепер можемо знайти значення b₂:

b₂ = (b₂ + 30) - 6 b₂ = b₂ + 24

Тепер, маємо значення b₂, можемо знайти q з (1):

b₁ * q^2 = b₂ + 6

Підставимо b₂:

b₁ * q^2 = (b₁ + 24) + 6

b₁ * q^2 = b₁ + 30

Розв'яжемо це рівняння для q:

b₁ * q^2 - b₁ = 30

b₁ * (q^2 - 1) = 30

q^2 - 1 = 30 / b₁

q^2 = (30 / b₁) + 1

q = sqrt((30 / b₁) + 1)

Тепер, коли у нас є значення q та b₁, можемо знайти суму перших чотирьох членів геометричної прогресії:

Сума перших чотирьох членів (S₄) = b₁ + b₁ * q + b₁ * q^2 + b₁ * q^3

Сума перших чотирьох членів (S₄) = b₁ * (1 + q + q^2 + q^3)

Сума перших чотирьох членів (S₄) = b₁ * (1 + q * (1 + q + q^2))

Сума перших чотирьох членів (S₄) = b₁ * (1 + q * (q^2 + q + 1))

Сума перших чотирьох членів (S₄) = b₁ * (1 + q * (q^2 + q + 1))

Сума перших чотирьох членів (S₄) = b₁ * (1 + q * (q^2 + q + 1))

Підставимо значення q:

S₄ = b₁ * (1 + sqrt((30 / b₁) + 1) * ((30 / b₁) + 1 + 1))

S₄ = b₁ * (1 + sqrt((30 / b₁) + 1) * ((30 + b₁) / b₁))

S₄ = b₁ + b₁ * sqrt((30 / b₁) + 1) * ((30 + b₁) / b₁)

Тепер ми не можемо точно знайти значення S₄, оскільки у нашому виразі є b₁, яке залишається невідомим. Ми можемо лише виразити суму S₄ у термінах b₁ та q. Якщо маємо конкретні значення для b₁ та q, тоді можемо знайти S₄, використовуючи останній вираз.