Question

1. Составьте уравнение касательной к графику функции y = корень3x + 4 в точке x = 4.​

Answer 1

$y = \sqrt{3x + 4} \\ y. = 3 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{ \sqrt{3x + 4} }$

Уравнение касательной :

g(x) = f'(x0)*(x-x0) + f(x0)

g(x) =

$\frac{3}{8} \times (x - 4) + 4$

=

$\frac{3x - 12 + 32}{8}$

=

$\frac{3x + 20}{8}$

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции по переменной x.
2. Подставьте значение x = 4 в производную функции, чтобы найти значение производной в этой точке.
3. Используя найденное значение производной и координаты точки (4, y), составьте уравнение касательной в общем виде y = mx + b, где m - значение производной в точке, а b - значение y в точке.

Шаг 1: Найдем производную функции y = √(3x) + 4.

Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования функции суммы и правило дифференцирования функции корня:

dy/dx = d(√(3x))/dx + d(4)/dx

dy/dx = (1/2)*(3x)^(-1/2) * d(3x)/dx + 0

dy/dx = (1/2)*(3x)^(-1/2) * 3

dy/dx = 3/(2√(3x))

Шаг 2: Подставим x = 4 в полученное выражение для производной:

dy/dx (в точке x = 4) = 3/(2√(3*4)) = 3/(2√12)

Шаг 3: Теперь составим уравнение касательной:

y = mx + b

Значение m (производной) в точке x = 4: m = 3/(2√12)

Точка, в которой касательная касается графика функции: (4, y)

Теперь нужно найти значение y в точке x = 4:

y = √(3x) + 4 y = √(3*4) + 4 y = √12 + 4 y = 2√3 + 4

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = √(3x) + 4 в точке x = 4 будет:

y = (3/(2√12))x + (2√3 + 4)