Question

Докажите тождество 1+tg^2a=tg^2a/sin^2a Плиииз помогите срочно

Answer 1

1+tg^2(a)=1+sin^2(a)/cos^2(a)=[cos^2(a)+sin^2(a)]/cos^2(a)=1/cos^2(a)

Тогда исходная левая часть примет вид:

1/(1/cos^2(a))+sin^2(a)=sin^2(a)+cos^2(a)=1, что действительно верно, так как является основным тригонометрическим тождеством

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и постараемся преобразовать ее к правой стороне.

Левая сторона: 1 + tg^2(a)

Мы знаем, что тангенс угла a равен отношению синуса косинуса этого угла:

tg(a) = sin(a) / cos(a)

Также, зная определение котангенса (ctg), можем записать:

ctg(a) = 1 / tg(a) = cos(a) / sin(a)

Теперь можем переписать левую сторону:

1 + tg^2(a) = 1 + (sin(a) / cos(a))^2 = 1 + sin^2(a) / cos^2(a)

Чтобы продолжить преобразование, вспомним тригонометрическую тождество:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Тогда:

1 + sin^2(a) / cos^2(a) = (cos^2(a) / cos^2(a)) + sin^2(a) / cos^2(a) = (cos^2(a) + sin^2(a)) / cos^2(a) = 1 / cos^2(a)

Так как мы знаем, что sec^2(a) = 1 / cos^2(a), то:

1 / cos^2(a) = sec^2(a)

Таким образом, левая сторона стала:

1 + tg^2(a) = sec^2(a)

Теперь перейдем к правой стороне:

tg^2(a) / sin^2(a)

Мы знаем, что tg^2(a) = sin^2(a) / cos^2(a), поэтому можем заменить в правой части:

tg^2(a) / sin^2(a) = (sin^2(a) / cos^2(a)) / sin^2(a) = sin^2(a) / (cos^2(a) * sin^2(a))

Теперь, используем тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

sin^2(a) = 1 - cos^2(a)

Подставим это в выражение:

sin^2(a) / (cos^2(a) * sin^2(a)) = (1 - cos^2(a)) / (cos^2(a) * (1 - cos^2(a)))

Теперь сократим общие множители:

(1 - cos^2(a)) / (cos^2(a) * (1 - cos^2(a))) = 1 / cos^2(a)

Мы получили, что правая сторона также равна 1 / cos^2(a) = sec^2(a).

Таким образом, мы доказали, что левая сторона (1 + tg^2(a)) равна правой стороне (tg^2(a) / sin^2(a)), и тождество верно:

1 + tg^2(a) = tg^2(a) / sin^2(a)