Question

X/x+1 - 1/x ＝ 1/x^2+x Решите уравнение​

Answer 1

$\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x^{2}+x}\\\\\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x(x+1)}=0\\\\\frac{x^{2}-x-1-1 }{x(x+1)}=0\\\\\frac{x^{2}-x-2 }{x(x+1)}=0\\\\\frac{(x-2)(x+1)}{x(x+1)}=0\\\\\left \{ {{(x-2)(x+1)=0} \atop {x\neq0;x\neq-1 }} \right.\\\\x-2=0\\\\x=2$

Ответ : 2

Answer 2

Для решения уравнения, сначала приведем все дроби к общему знаменателю:

Уравнение: $\frac{X}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2+x}$

Для начала найдем общий знаменатель для дробей. Общий знаменатель будет $x(x+1)$:

$\frac{X}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2+x} \cdot \frac{x(x+1)}{x(x+1)}$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю:

$\frac{X(x(x+1))}{x(x+1)} - \frac{x(x+1)}{x(x+1)} = \frac{1}{x^2+x} \cdot \frac{x(x+1)}{x(x+1)}$

$\frac{X(x^2+x) - x(x+1)}{x(x+1)} = \frac{x(x+1)}{x^2+x}$

Теперь умножим обе части уравнения на $x(x+1)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$X(x^2+x) - x(x+1) = x(x+1)$

Распределим $X$ слева:

$X(x^2+x) - x(x+1) - x(x+1) = 0$

$X(x^2+x) - 2x(x+1) = 0$

Теперь приведем всё в левой части к общему множителю:

$x(x^2+x) - 2x(x+1) = 0$

$x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x = 0$

$x^3 - x^2 - 2x = 0$

Факторизуем уравнение:

$x(x^2 - x - 2) = 0$

$x(x-2)(x+1) = 0$

Таким образом, получили три решения для уравнения:

1. $x = 0$
2. $x = 2$
3. $x = -1$

Проверим, что наши решения допустимы, то есть не приводят к делению на ноль в исходном уравнении:

При $x = 0$:

$\frac{X}{0+1} - \frac{1}{0} = \frac{1}{0^2+0} \Rightarrow$ недопустимо (деление на ноль)

При $x = 2$:

$\frac{X}{2+1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2^2+2} \Rightarrow \frac{X}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \Rightarrow X = \frac{1}{6} + \frac{3}{2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$