Question

Определите число точек пересечения графиков функций y=|x| и y=x+a для каждого значения числа a.

Answer 1

Ответ:

если a < 0, нет точек пересечения,

если а = 0, бесконечно много точек пересечения,

если а > 0. одна точка пересечения.

Объяснение:

Графический метод.

1) Построим график функции у = |x| (красный график)

Так как |x| = x при x ≥ 0, то для x ≥ 0 графиком является луч с началом в точке (0; 0), биссектриса первой координатной четверти.

Так как |x| = - x при x < 0, то для x < 0 графиком является часть прямой у = - х, расположенная во второй координатной четверти.

2) Построим график функции  у = х + а (зеленый график) для различных значений а.

Графиком этой функции является прямая, проходящая под углом 45° к положительному направлению оси Ох, и пересекающая ось Оу в точке (0; а).

• Если а < 0, то прямая проходит ниже графика функции у = |x| и не пересекает его.
• Если а = 0, то прямая проходит через начало координат и совпадает с частью графика функции y = |x|, тогда бесконечно много общих точек.
• Если а > 0, то прямая пересекает график функции y = |x| в одной точке.

Аналитический метод:

1) a < 0

|x| = x + a

Если х ≥ 0, то  x = x + a

                        a = 0

но а < 0, значит точек пересечения нет.

Если х < 0, то - x = x + a

                       - 2x = a

здесь левая часть положительна, правая - отрицательна, значит нет точек пересечения.

2) а = 0

|x| = x

равенство верно, для любых x ≥ 0.

Бесконечно много общих точек.

3) а > 0

Если x ≥ 0, то x = x + a

                       a = 0

но а > 0, значит точек пересечения нет.

Если x < 0, то - x = x + a

                       - 2x = a

обе части положительны, значит для каждого а > 0 найдется значение х, при котором равенство будет верно, следовательно одна точка пересечения.

Answer 2

Для определения числа точек пересечения графиков функций y=|x| и y=x+a, нужно рассмотреть различные значения параметра a.

1. Когда a = 0: Подставим a=0 в уравнение y=x+a: y=x+0 y=x Таким образом, графики функций y=|x| и y=x пересекаются в точе (0,0) только один раз.

2. Когда a > 0: Подставим a>0 в уравнение y=x+a: y=x+a Теперь нужно найти точку пересечения с графиком функции y=|x|. Заметим, что функция y=|x| принимает только неотрицательные значения, а функция y=x+a - только положительные значения (так как a>0). При этом обе функции имеют одинаковую наклон. Следовательно, график функции y=|x| находится выше графика функции y=x+a и не пересекается с ним.

3. Когда a < 0: Подставим a<0 в уравнение y=x+a: y=x+a Теперь нужно найти точку пересечения с графиком функции y=|x|. Заметим, что функция y=|x| принимает только неотрицательные значения, а функция y=x+a - только отрицательные значения (так как a<0). Обе функции имеют одинаковую наклон. Следовательно, график функции y=|x| находится ниже графика функции y=x+a и не пересекается с ним.

Итак, для различных значений a получаем следующие результаты:

1. a = 0: Графики пересекаются в единственной точке (0,0).
2. a > 0: Графики не пересекаются.
3. a < 0: Графики не пересекаются.

Важно отметить, что в каждом случае график функции y=|x| представляет собой положительную половину параболы, отраженную от оси x. А график функции y=x+a - прямую с положительным наклоном при a>0 и отрицательным наклоном при a<0.