Question

♥исследовать функцию 3x^2-x^3пожалуйста♥​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$f(x)=3x^2-x^3\\Ox:3x^2-x^3=0=>x=0;x=3\\Oy:0\\f'(x)=6x-3x^2\\f'(x)=0=>6x-3x^2=0=>x=0;x=2\\f(0)=0\\f(2)=4$

Убывает от -∞ до 0

Возрастает от 0 до 2

Убывает от 2 до +∞

Answer 2

Конечно, давайте исследуем функцию $f(x) = 3x^2 - x^3$.

Для исследования функции на экстремумы, поведение при возрастании/убывании и поведение при пересечении оси абсцисс (x-оси), нам потребуется проанализировать производные функции.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - x^3).$

Производная функции $f(x)$ будет равна: $f'(x) = 6x - 3x^2.$

Шаг 2: Найдем критические точки, где $f'(x) = 0$: $6x - 3x^2 = 0.$

Вынесем общий множитель: $3x(2 - x) = 0.$

Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = 0$ и $x = 2$.

Шаг 3: Найдем значения функции в найденных критических точках и граничных точках.

a) Подставим $x = 0$: $f(0) = 3 \cdot 0^2 - 0^3 = 0.$

b) Подставим $x = 2$: $f(2) = 3 \cdot 2^2 - 2^3 = 12 - 8 = 4.$

Шаг 4: Определим интервалы возрастания и убывания функции $f(x)$ с помощью производной.

Для этого составим таблицу знаков производной $f'(x)$ в разных интервалах:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, \infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline \end{array}$$

Из таблицы видно, что производная $f'(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный при $x \in (0, 2)$, что означает, что функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

Шаг 5: Определим наличие экстремумов и их характер.

Так как $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус при $x = 2$, то это означает, что у функции $f(x)$ есть локальный максимум в точке $x = 2$.

Шаг 6: Определим поведение функции при пересечении оси абсцисс (x-оси), то есть найдем значения функции при $y = 0$.

$f(x) = 3x^2 - x^3.$

При $f(x) = 0$ получим: $0 = 3x^2 - x^3.$

Факторизуем выражение: $0 = x^2(3 - x).$

Отсюда получаем два значения $x$:

1. $x = 0$,
2. $x = 3$.

Таким образом, функция пересекает ось абсцисс (x-ось) в точках $x = 0$ и $x = 3$.

Шаг 7: Построим график функции $f(x)$ для более наглядного представления.

На графике видно, что функция $f(x) = 3x^2 - x^3$ имеет локальный максимум в точке $x = 2$ и пересекает ось абсцисс (x-ось) в точках $x = 0$ и $x = 3$.