Question

5^2x-6*5^x+5>0 помогите отметить на луче

Answer 1

Для того чтобы решить неравенство нужно для начала решить уравнение:

5^2x-6*5^x+5=0

 Уравнение напоминает квадратное, а чтобы проще в записи решения данного уравнения, произведем замену, пусть 5^х = с, тогда уравнение приобретает вид:

С^2-6с+5 =0

Дискриминант D равен:

D=6^2-4*1*5=36-20=16, 16>0, что говорит о том, что уравнение С^2-6с+5 =0

 Имеет два решения:

1.с=(6+√16)/2*1=10/2=5

2.с=(6-√16)/2*1=2/2=1

Вспоминаем, что с=5^x, запишем неравенство следующим образом:

(5^x-5)(5^x-1)>0

Значит

Если 5^x-5>0 то 5^x-1>0

Если 5^x>5 то 5^x>1

Значит х>1

Или

Если 5^x-5<0 то 5^x-1<0

Если 5^x<5 то 5^x<1

Значит x<0

Ответ: х>1 или x<0

Answer 2

Чтобы решить неравенство, давайте сначала проанализируем выражение в левой части.

У нас есть неравенство: $5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 > 0$.

Давайте заменим $5^x$ на $t$, чтобы упростить неравенство:

$5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 > 0$
$t^2 - 6t + 5 > 0$.

Теперь нам нужно решить квадратное неравенство $t^2 - 6t + 5 > 0$.

Для этого сначала найдем корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$:

Используем квадратную формулу: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В нашем случае, $a = 1$, $b = -6$ и $c = 5$:

$t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$
$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$
$t = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$
$t = \frac{6 \pm 4}{2}$.

Таким образом, корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$ равны: $t_1 = 5$ и $t_2 = 1$.

Теперь наша задача - определить знак выражения $t^2 - 6t + 5$ на различных участках числовой прямой, чтобы найти области, в которых оно положительно.

Можно использовать метод интервалов:

1. Выберем тестовую точку $t_0$ на каждом участке числовой прямой.
2. Подставим $t_0$ в выражение $t^2 - 6t + 5$ и определим знак.

Теперь рассмотрим каждый участок:

Участок 1: $-\infty < t < 1$.

Выбираем $t_0 = 0$: $t^2 - 6t + 5 = (0)^2 - 6(0) + 5 = 5$, что является положительным числом.

Участок 2: $1 < t < 5$.

Выбираем $t_0 = 3$: $t^2 - 6t + 5 = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$, что является отрицательным числом.

Участок 3: $t > 5$.

Выбираем $t_0 = 6$: $t^2 - 6t + 5 = (6)^2 - 6(6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5$, что является положительным числом.

Теперь можем ответить на вопрос: где $t^2 - 6t + 5 > 0$.

Ответ: $t^2 - 6t + 5 > 0$ при $t < 1$ и $t > 5$.

Теперь давайте вернемся к исходной переменной $x$:

$5^x < 1$