Question

Определите точки максимума и минимума и промежутки монотонности функций. 1) f (x)=2x^3-6x^2-18x+7​

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для определения точек максимума и минимума, а также промежутков монотонности функции f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f'(x).
2. Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки функции.
3. Исследуйте знак производной f'(x) в интервалах между критическими точками и на краях области определения функции, чтобы определить промежутки монотонности.
4. Определите характер точек (максимум или минимум) с помощью второй производной.

Теперь выполним эти шаги:

1. Найдем производную функции f'(x): f'(x) = d/dx (2x^3 - 6x^2 - 18x + 7) f'(x) = 6x^2 - 12x - 18

2. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение: 6x^2 - 12x - 18 = 0 Делим уравнение на 6: x^2 - 2x - 3 = 0 Факторизуем уравнение: (x - 3)(x + 1) = 0 Таким образом, критические точки функции f(x) равны x = 3 и x = -1.

3. Определим промежутки монотонности: Для этого построим таблицу знаков производной f'(x) на основе критических точек и границ области определения функции (-бесконечность, +бесконечность):

Интервал	f'(x)
(-∞, -1)	(+)
(-1, 3)	(-)
(3, +∞)	(+)

Знак "+" означает положительное значение производной, а знак "-" - отрицательное.

4. Определение характера критических точек: Для определения характера точек (максимум или минимум) используем вторую производную: f''(x) = d/dx (6x^2 - 12x - 18) f''(x) = 12x - 12

Теперь подставим критические точки во вторую производную: a) x = -1: f''(-1) = 12*(-1) - 12 = -24 (отрицательное значение, значит, в x = -1 функция имеет локальный максимум). b) x = 3: f''(3) = 12*3 - 12 = 24 (положительное значение, значит, в x = 3 функция имеет локальный минимум).

Таким образом, точка x = -1 является локальным максимумом, а точка x = 3 - локальным минимумом. Промежутки монотонности функции следующие:

1. Функция убывает на интервале (-∞, -1).
2. Функция возрастает на интервале (-1, 3).
3. Функция убывает на интервале (3, +∞).

Это все точки максимума, минимума и промежутки монотонности функции f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7.