Question

Найдите наибольшее значение функции y=2sin3x+cos3x Поэтапное решение с объяснениями

Answer 1

есть такая формула:

$a*sin(\alpha )+b*cos(\alpha )=\sqrt{a^2+b^2}$

$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

Answer 2

$y=2\sin 3x + \cos 3x= \sqrt{5}\sin(3x+\arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})) \leq\sqrt{5}$

Answer 3

Для нахождения наибольшего значения функции y = 2sin(3x) + cos(3x), мы должны определить, когда сумма 2sin(3x) и cos(3x) достигает своего максимального значения.

Шаг 1: Найдите производную функции y по переменной x. Для этого вычислим производные каждого слагаемого по отдельности и сложим их. Начнем с производной 2sin(3x):

dy/dx = d(2sin(3x))/dx

Мы знаем, что производная синуса sin(mx) равна cos(mx), где m - это число, стоящее перед x. В данном случае m = 3:

dy/dx = 2 * d(sin(3x))/dx dy/dx = 2 * cos(3x)

Теперь найдем производную cos(3x):

dy/dx = d(cos(3x))/dx dy/dx = -3 * d(sin(3x))/dx dy/dx = -3 * cos(3x)

Теперь найдем производную всей функции y по x, просто сложив производные каждого слагаемого:

dy/dx = 2cos(3x) - 3cos(3x) dy/dx = -cos(3x)

Шаг 2: Найдите точки экстремума, приравняв производную к нулю:

dy/dx = -cos(3x) = 0

Чтобы найти x, при котором производная равна нулю, решим уравнение:

cos(3x) = 0

Теперь найдем все значения x, которые удовлетворяют уравнению cos(3x) = 0. Такие значения x будут точками экстремума.

cos(3x) = 0 3x = π/2 + kπ (где k - целое число) x = (π/2 + kπ)/3

Шаг 3: Найдите вторую производную для классификации найденных точек экстремума.

Для определения, является ли найденная точка экстремума максимумом или минимумом, вычислим вторую производную функции y:

d^2y/dx^2 = d(-cos(3x))/dx d^2y/dx^2 = 3sin(3x)

Шаг 4: Определите характер точек экстремума, подставив найденные значения x во вторую производную.

1. Для x = (π/2 + 0*π)/3 = π/6: d^2y/dx^2 = 3sin(π/6) = 3 * (1/2) = 3/2 (положительное значение)

2. Для x = (π/2 + 1*π)/3 = π/2: d^2y/dx^2 = 3sin(π/2) = 3 * 1 = 3 (положительное значение)

3. Для x = (π/2 + 2*π)/3 = 5π/6: d^2y/dx^2 = 3sin(5π/6) = 3 * (-1/2) = -3/2 (отрицательное значение)

Шаг 5: Определите максимум или минимум.

• Если вторая производная (d^2y/dx^2) положительна, то у нас есть минимум в этой точке.
• Если вторая производная (d^2y/dx^2) отрицательна, то у нас есть максимум в этой точке.

Таким образом, наибольшее значение функции y = 2sin(3x) + cos(3x) достигается в точке x = 5π/6, и его значение равно:

y = 2sin(3 * (5π/6)) + cos(3 * (5π/6)) y = 2sin(5π/2) + cos(5π/2) y = 2 * (-1) + 0 y = -2

Наибольшее значение функции y = 2sin(3x) + cos(3x) равно -2 и достигается при x = 5π/6.