Question

Сумма первых трёх членов геомет. прогрессии S3=219, а их произведение b1*b2*b3= 13824. Найдите q=?​

Answer 1

Решение во вложении:

Answer 2

S₃=219     b₁*b₂*b₃=13824     q=?

b₁*b₂*b₃=b₁+b₁q*b₁q²=b₁³q³=(b₁q)³=13824

(b₁q)³=24³

b₁q=24

b₁=24/q

S₃=b₁*(q³-1)/(q-1)=219

(24*(q³-1)/(q*(q-1))=219 |÷3

8*(q³-1)/(q²-q)=73

8*(q-1)*(q²+q+1)/(q*(q-1))=73

8*(q²+q+1)/q=73

8q²+8q+8=73q

8q²-65q+8=0     D=3969     √D=63

q₁=8     q₂=1/8.

Ответ: q₁=8     q₂=1/8.

Answer 3

Для геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ (квоциентом прогрессии) сумма первых трех членов определяется следующим образом:

$S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2$

А их произведение:

$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = b_1 \cdot (b_1q) \cdot (b_1q^2) = b_1^3 \cdot q^3$

У нас дано, что $S_3 = 219$ и $b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = 13824$. Мы хотим найти $q$.

Сначала найдем $b_1$. Для этого, разделим сумму первых трех членов на $q - 1$:

$b_1 = \frac{S_3}{q - 1}$

Подставим данное значение $b_1$ в уравнение для произведения:

$b_1^3 \cdot q^3 = 13824$

$\left(\frac{S_3}{q - 1}\right)^3 \cdot q^3 = 13824$

Теперь разрешим это уравнение относительно $q$:

$\frac{S_3^3}{(q - 1)^3} \cdot q^3 = 13824$

$S_3^3 \cdot q^3 = 13824 \cdot (q - 1)^3$

Теперь подставим значение $S_3 = 219$:

$219^3 \cdot q^3 = 13824 \cdot (q - 1)^3$

$q^3 = \frac{13824 \cdot (q - 1)^3}{219^3}$

$q = \sqrt[3]{\frac{13824 \cdot (q - 1)^3}{219^3}}$

$q = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$

Таким образом, $q = \frac{8}{3}$.