Question

15б Докажите что для любых чисел a и b верно неравенство 17/16a^2+3ab+5b^2>/=0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(17/16)*a²+3ab+5b²≥0 |×16

17a²+48ab+80b²≥0

16a²+a²+32*ab+16ab+16b²+64b²≥0

(16a²+32ab+16b²)+(a²+16ab+64b²)≥0

((4a)²+2*4a*4b+(4b)²)+(a²+2*a*8b+(8b)²)≥0

(4a+4b)²+(a+8b)²≡≥0.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, давайте рассмотрим выражение в левой части:

$17/16a^2 + 3ab + 5b^2$

Мы хотим доказать, что это выражение неотрицательно для любых значений $a$ и $b$. Для этого, давайте рассмотрим дискриминант квадратного трёхчлена $3ab$ относительно переменной $a$:

$D_a = (3b)^2 - 4 \cdot \dfrac{17}{16} \cdot 5b^2 = 9b^2 - \dfrac{85}{4}b^2 = \dfrac{1}{4}b^2$.

Теперь, так как $D_a \geq 0$ для любого $b$, это означает, что квадратный трёхчлен $3ab$ не имеет корней относительно $a$ для любых значений $b$.

Поскольку квадратный трёхчлен имеет только два возможных случая: либо он всегда положителен, либо он всегда отрицателен. В данном случае, он не имеет корней, следовательно, он всегда имеет один и тот же знак.

Давайте проверим этот знак. Подставим значение $a = 1$ и $b = 0$ (или наоборот $a = 0$ и $b = 1$):

1. При $a = 1$ и $b = 0$: $17/16 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 \cdot 0 + 5 \cdot 0^2 = 17/16 \geq 0$.

2. При $a = 0$ и $b = 1$: $17/16 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 \cdot 1 + 5 \cdot 1^2 = 5 \geq 0$.

Таким образом, мы доказали, что выражение $17/16a^2 + 3ab + 5b^2$ всегда неотрицательно для любых значений $a$ и $b$:

$17/16a^2 + 3ab + 5b^2 \geq 0$ для всех $a$ и $b$.